127

127

, ^liczbowego Granica d«^u

^ dalszych rozważaniach wygodnie będzie posługiwać się zwrotem: „prawie wszystkie wy-_riiy ciągu”

jawimy* że „prawie wszystkie wyrazy ciągu (a„) mają pewną własność”, gdy własność tę JfippEystkie wyrazy tego ciągu, poczynając od pewnego n. Nie ma natomiast tej własności tylko skończona liczba wyrazów ciągu.

| PRZYKŁAD 2.70

Dany jest ciąg (er*) o wyrazie ogólnym a„ = 2n + 4. Dla jakiego n prawie wszystkie wyrazy ciągu (o») są większe od 100?

rozwiązanie

a_n> 100 <=> 2n + 4 > 100 <=> n > 48 fl_J,>100on>48

\tyraz049 i wszystkie po nim następujące są większe od 100. Mniejsze od 100 są tylko wyrazy od pierwszego do czterdziestego ósmego. Możemy zatem powiedzieć, że z wyjątkiem pierwszych 48 wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym a„ = 2n + 4, wszystkie pozostałe są większe od 100.

ODPOWIEDŹ

Dla n > 48 prawie wszystkie wyrazy ciągu (a„) są większe od 100.

■

• Ciągi zbieżne do zera

Rozważmy ciąg nieskończony o wyrazie ogólnym a_n =-. Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

n

H m i u _i_ j_ i i |

1^]W4’5’’"’50’”-’100’101.....n'n+\'")

Rys. 2.11

^a10 a₈ a₆

\a9ja7j fi|    a₄    33    82    ||

o    /1! 11 1    ±    ±    JL    il

/ 9' 76 5    4    3    2

■I 1

10 B

Wyrazy tego malejącego ciągu są liczbami dodatnimi, a wartości ich przybliżają się do zera, gdy n rośnie nieograniczenie. W przykładzie 2.69 stwierdziliśmy, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do przedziału (-0,03; 0,03), tzn. do otoczenia liczby 0 o promieniu 8=0,03.

łatwo wykazać, że jakiekolwiek weźmiemy otoczenie liczby 0, zawsze znajdziemy taką liczbę A/, że po skreśleniu M początkowych wyrazów tego ciągu wszystkie następne wyrazy będą należały do tego otoczenia.

Niech £ > 0 będzie promieniem dowolnego otoczenia liczby 0. Otoczenie liczby 0, o promieniu £, ma postać (-e; e).