skanuj0001 (463)

ZADANA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z MATEMATYKI (SEM.2 2008)

EZ

1)    Obliczyć strumień pola w(x,y,z} = [~2xy,y²,2zj przez wewnętrzną stronę piata S o równaniu y = 6- 2x² + 2z², y > 2 .

2)    Obliczyć strumień pola w (x, y, z) = rot [4, x², - x²y z J przez wewnętrzną stronę piata

S o równaniu y - 8^2x² +2j^², y < 8 .

3)    Obliczyć objętość tej części bryły Vograniczonej powierzchniami

4y = x² + z², y = V 12-x² -z² , dla której x < 0.

1) Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań

a)

Jx    . . _

—    = x- v-4sin 2/

dl ⁷

dy r

—    = 5x - y dt

b)

dx    ₄,

— = x+y-e dt

dy _s dt

= 5y-3x + 2cos2/

2) Rozwiązać równanie różniczkowe i dokonać sprawdzenia:

a) (l-x)(l ₊ x)/ = 3-xy, |x|<l, j(0) = l b) (x-3)/ + y = 0, WP (4)= /(4) = 2 c) (2_y+ xe^V!')/ = -1 -^e^vj;, y (l) = 0 .

ET

Uzupełnij ... (z uzasadnieniem) tak, aby zdania były prawdziwe:

1)    Funkcja określona wzorem f{x,y) = 2-e³^^+> ma maksimum globalne w punkcie (0,0), ponieważ ... .

2)    Geometryczny środek ciężkości bryły V = j(x,y,z): -\Js~x² -z² < y < oj ma współrzędne: ... .

3)    Cyrkulacja pola iF(x,y) = [x⁴ +4xy³,6x²>’² -5y⁴ J wzdłuż dowolnej krzywej regularnej zamkniętej wynosi

4)    Równanie y'=-— interpretujemy geometrycznie następująco: ... . Jego całka ogólna jest postaci ...

x

5)    Funkcje y_] =e^-2v, y₂ -xq~²\ y₃ = 4 są liniowo niezależne, ponieważ ... i tworzą układ fundamentalny

rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego postaci ... (jakiego?)._

Uzupełnij ... (z uzasadnieniem) tak, aby zdania były prawdziwe:

1)    Funkcja F(x,y) = -x²y nie ma ekstremów, bo____

2)    Moment bezwładności jednorodnej (o gęstości p_m = 3 ) bryły V względem płaszczyzny y = 0 jest granicą ciągu sum całkowych S_n =... (objaśnić) i wyraża się wzorem ... .

3)    Pole obszaru D = j(x,y) :0 < x < ^8 -y² j obliczamy za pomocą całki krzywoliniowej w następujący sposób:

4)    Równanie różniczkowe ydx + ctgxdy = 0 jest typu ... i ma rozwiązanie szczególne spełniające warunek

f ^3

yl — I = — 1 postaci....

5)    Zagadnienie Cauchy’ego dla równania y^m + 2y" + 4y = 0 polega na ... . Jego rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową funkcji ... (podać ich wzory).