skanuj0017 (186)

44‘ Szeregi funkcyjne 79

oo

Przykład 4.75. W przykładzie 4.59 badaliśmy zbieżność szeregu XI ^J^xⁿ.

n=1

Zrobimy to również teraz. Szukając promienia zbieżności, obliczamy

(n+l)!

(n+i)”'¹¹ _r n\(n + l)nⁿ    1    1    1

hm -—— - lim ₇-——--—-    = lim    ₇—■-■■■■:-    — lim    -—    = -.

n->oo 2L    n-»oo (fi -)-    1 )ⁿ(n + l)n! n—>oo    (ⁿ+0 n—>oo    (1 + —)ⁿ e

Zatem promień zbieżności wynosi e. W przykładzie 4.59 stwierdzono, że szereg

oo

jest rozbieżny dla x — e i x = — e. Zatem rozważany szereg X]    jest

n=1

zbieżny dla x G (—e, e), a rozbieżny dla x G (—00, —e] U [e, +00).

Zadania

a.    lim = 1,

n-»oo ⁿ

b.    lim    \

oc ²ⁿ~^l 2

e. lim Śij- = 0.

n—>00 ¹¹

4.1. Posługując się definicją zbieżności ciągu pokazać, że:

4.2. Niech a_n —> a, b_n —> 6, a, 6 G M. Posługując się definicją zbieżności ciągu, wykazać, że:

a.    Ufi -(■ 3 —> ci -p 3,

b.    a² -(- 2 —> cl² 2,

c.    g²+a_n6² -> a² + ab²,

d.    2a_n6_n -f a_n —> 2aó + a,

e.    a_n6³ - b² + 2 —» aó³ — ó² + 2,

f an+2

fcn + 1

g- “ h.

Uf ’ j^eżeli b ź

anbn 1

²-^    . a²—6²

tlri 1 «n+^ł« -1

-> ó³ — ab — 1, , jeżeli 1, 1 , jeżeli 6 7^ 1,

j. a

■nPn d” ^

a—1 a²+6

W

²    * a²b³

Obliczyć granice następujących ciągów:

4.7.	„ n^,5+2n+1 _____ ~ 3n—2n^3+l '
4.8.	^ _ 1-+2+3H-----h n n ^(ln ~ n+2 2 *
4.9.	(—0,5)^n - r ^an = X^=8
4.10	. an = y/n^2 — l — \Zn^2

4.11. a_n = \/n² — n — n.

4.3.    On

4.4.    a_n

4.5.    a_n

(2—n)²n 6n-3n²+2n³ *

_ (y/n+3)² 7^ ' ^— n+l

_ >/ń^g+3 -1 ^_ 2n-l •

4.6. a,

_ n⁴—2n+l ^ ⁿ n³—n⁴