stat Pager resize

72

5.1 Zagadnienie całkowani;

;todą MC

Metropolis, wykorzystując intuicyjny związek pomiędzy „generowaniem liczb losowych” a słynnymi kasynami w Monte Carlo.

W swej najbardziej klasycznej formie metody MC związane są z zagadnieniami całkowania i optymalizacji zadanej funkcji. Przyjrzyjmy się teraz dokładniej tym dwóm kwestiom.

5.1 Zagadnienie całkowania metodą MC

W wielu przypadkach, znanych zarówno z teorii, jak i zastosowań, okazuje się, że całka z ustalonej funkcji nie daje się wyrazić bezpośrednio przy pomocy funkcji elementarnych. Zjawisko takie nazywa się często brakiem postaci analitycznej dla całki z funkcji.

W takim przypadku do obliczenia poszukiwanej całki z funkcji konieczne jest wykorzystanie metod numerycznych. Oprócz metod numerycznych bazujących na deterministycznych algorytmach, takich jak np. sumy Riemanna, zasada trapezoidu, zasada Simpsona, funkcje sklejane (splajny) itp., można skorzystać także z metody MC. Polega ona na zapisaniu całki z poszukiwanej funkcji jako równoważnej całki z iloczynu dwóch odpowiednio dobranych funkcji h(x) i f(x).

Problem znalezienia poszukiwanej całki sprowadza się wtedy do całkowania iloczynu funkcji o następującej postaci

(5.3)

gdzie f(x) jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa o nośniku X. Ze względu na praktyczną naturę problemu, zakładać będziemy, iż X C R^p, gdzie p jest pewną liczbą naturalną. Oczywistym warunkiem poprawności równości (5.3) jest istnienie odpowiedniej wartości oczekiwanej. Dlatego w dalszej części pracy zakładać zawsze będziemy, że E/ń(i) < oo.

Zauważmy, że formuła (5.3) jest bardzo ogólną postacią dla problemu całkowania, gdyż dla dowolnie wybranej funkcji h(x) o zwartym nośniku X, jej całkę możemy zapisać jako

(5.4)

gdzie |^V| jest mocą zbioru X w przypadku skończoności zbioru X lub p-wy miarową objętością przestrzeni X w przypadku, gdy X C R^p. W oczywisty sposób, w (5.4) rolę gęstości f(x) pełni gęstość rozkładu jednostajnego na X.

Obliczenie wartości wyrażenia (5.3) wymaga w metodzie MC wygenerowania losowej próby .Vq,    , X_n zmiennych Ud z rozkładu o gęstości f(x) przy

pomocy odpowiednich komputerowych algorytmów pseudolosowych. Naturalna średnia postaci

M*) = rrr " M*<) ^{n +} 1

(5.5)

E,/i(x):

przybliża wtedy, zgodnie z mocnym prawem wielkich liczb, wartość oczekiwaną