str249

§ 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 249

Współczynnik L_kmn określa zatem wzór (patrz zależność (8.4)):

§ 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 249

sin

a o c

rrr fcirx mny nnz t/₀ sin-sin—— sin-dxdydz

ooo

^kmn    _a b c

/»/»/» v J ł

ooo

skąd po obliczeniu całek mamy

, knx , mny , nnz

- sin —— sin -dxdydz

^Lkmn Jt³(2fc —l)(2m—l)(2n —1)’

Obecnie możemy napisać w końcowej postaci rozwiązanie równania (1), spełniające warunki graniczne (2), (3), (4), (5) i (6)

u(x,y,z, t) =

gdzie

1 (—1)

k + m + n

sin-

(2fc—1)7cjc . (2m — l)ny . (2n —l)itz

sin-

-sm-

cosX_kmnvt

k= 1 m= i n— 1

'kmn

K2k-

(2fc — 1) (2m — 1) (2n — 1)

-l)² (2m —l)² (2n —l)²

~⁺~~b^r~⁺    c²"    '

Zadanie 8.4. Wyznaczyć funkcję u(x, t) dla 0<x</ i t>0 opisującą przebieg zmian napięcia wzdłuż jednorodnej linii elektrycznej o długości /. Linia jest na obu końcach zwarta. W chwili początkowej / = 0 rozkład napięcia wzdłuż linii był następujący (rys. 4.10):

U₀

dla

0 <x<|Z,

(1)

/(*) =

iUo    dla    x = |Z,

(O    [dla |Z<x<Z,

¹

a prędkość zmian napięcia du/dt w chwili l = 0 była równa zero.

Uo

u(x,0)=f(x)

U

L

Rys. 4.10

Rozwiązanie. Szukany przebieg zmian napięcia «(x, t) wzdłuż linii spełnia równanie telegrafistów (7.1) dla 0<x</ i />0

d²u _ d²u    6u

-(RC+LCA — dt

O IV    1/ M

-^-LC^r-(RC+LG) — -RGu = 0 dx²    dt²

(2)