str030 (5)

\

30

1. ELEMENTY TEORI [ FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

§ 4. SZEREGI PO'

Stąd natychmiast kolejno:

(7)

(« + !)!

Zadanie 4.3. Znaleźć cz Rozwiązanie. Stosują (1 — i), mamy

W_n+i =

w„+i		z"^+1n!
K		(n + l)! z"

n + l'

Przechodząc we wzorze (7) do granicy przy n-+ oo mamy

W„+l

lim

n~* cc

w_n

= 0< 1 przy dowolnym z

Zgodnie z kryterium d’Alemberta szereg badany jest więc zbieżny w całej płaszczyźnie otwartej, innymi słowy promień zbieżności tego szeregu r = oo.

Zadanie 4.2. Przedstawić w postaci wykładniczej liczbę zespoloną

cos (I-i) =

czyli

(1)

Stosując do prawej strony

e

cos (I-i) = -

1    .V³

^z= —T+'^T-

2    2

Rozwiązanie. W rozważanym przypadku mamy

„ ¹ _k ^

y ^h~T-

Wobec tego część rzeczy w

Aby liczbę z przedstawić w postaci wykładniczej z = re‘°, wystarczy znaleźć jej moduł r = |z| oraz argument główny 0_o — Argz. Moduł \z\ wyliczamy ze wzoru

(1)

Ax‘gument główny 0_o wyliczamy ze związków

Zadanie 4.4. Obliczyć a) ln(-l) oraz Ln(-Rozwiązanie. a) Pr;

a -i

cos 0_O = — = —— = -i, r 1

(1)

(2)

V³

Obliczamy teraz moduł r b = 0

b 2 Ji sm 0_o = — = — = —, r 12

(2)

gdzie O^0_o<2jt.

Z równości (2) wynika, że

COS0

(3)

„ ^2K

0_o-j.

Biorąc pod uwagę wzory (1) i (3) możemy liczbę z napisać w postaci

2 .

z= 1- e³"*.

skąd

(3) *

Biorąc pod uwagę wzory ln(-l) = lr

(4)