str126 (5)

126 2. FUNKCJE SPECJALNE

Wprowadzając uzyskaną zależność do całki (1), mamy

G(p)=]z^p]e-^(zl+"^adodz,

0 * o

skąd po podstawieniu z²o = t otrzymujemy

G(p) = ł J t^-^e^dt J <T-i^(p+1>E-'c/<T =

⁴ V 2 / V 2 / 2sinijr(

l.:

i7t(p+l)'

Zadania do rozwiązania

1. Wyrazić przez funkcję E Eulera funkcję beta (czyli funkcję Eulera pierwszego rodzaju) gdzie Rej>0, Rez>0.

2. Wyrazić przez funkcję gamma całki: i"    !• 1

a) sin^2pę>cos^2,<pd</>, b) |    .

J    JVl-x⁴

Odpowiedzi

1. B(s, z) =

ns)r(z) r(s+z) •

„ ^ _1D/_,,    . „ r(p+i)r(q+ł)    _u._x r²a)

2. a) iB(p+}, q + ł)=    , b) —

2E(p + ^ + l)    4 V2tc

§ 2. Funkcja Bessela

Definicja 1. Równaniem różniczkowym Bessela nazywamy równanie

£ł+I.

[dz² z

(2.1)

Definicja 2. Funkcjami Bessela lub funkcjami walcowymi nazywamy rozwiązania równania (2.1).