zad41 (2)

Przykład 11.6. Trzy ciągłe, niezależne zmienne losowe X_v X₂, X₃ mają jednostajne gęstości prawdopodobieństwa p_x. (x) w przedziale [0, b] jak na rys, 11.1.

160

Mb -

Px

Mb

Rys. 11.1. Rozkłady zmiennych losowych X\, X₂, X₃

1,    Wyznaczyć, narysować i porównać gęstości prawdopodobieństwa sumy dwóch zmiennych: Y - X_} + X₂, wyznaczone na podstawie splotu gęstości składowych (1) oraz przy zastosowaniu oszacowania wynikającego z centralnego twierdzenia granicznego (2).

2.    Wykonać podane w pkt 1. zadanie dla sumy trzech zmiennych losowych:

Z = X₁+X₂ + X₃.

Porównać wyniki uzyskane w pkt 1. i 2,

Rozwiązanie: Zmienne losowe X. mają jednakowe gęstości prawdopodobieństwa (rys. 11.1) oraz jednakowe wartości oczekiwane i wariancje:

b-0 b

2 ~ 2 ’

•2 I⁶"⁰)² >² Xi 12 12'

Ad 1. Obliczenie gęstości p_Y (y) dla sumy dwóch zmiennych: Y = X_l +X₂. Przedział zmienności zmiennej Y:

Jmin    ymaks

Funkcje gęstości prawdopodobieństwa p_x^ (x,) i p_Xi (x₂) są opisane zależnościami:

PxM)⁼\ ^dla <)śxi^śb>

Px₂(^xz)=J ^dla 0<x₂<b.

Kompozycję rozkładów można wyznaczyć na podstawie splotu funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

00

Pi (y) = J p_Xi )px₂ {y- ^xi) ■

Najpierw należy obliczyć całkę nieoznaczoną:

¹ = \px, (¹, )Px₂(>- -^1 )d¹, =    = -J Jdx, =-^--

Zmienna Tjest określona na płaszczyźnie x,x₂ na rys. 11.2.

Rys. 11.2. Obszar określoności kompozycji zmiennych X\ i X₂

Prosta y-b przedstawia miejsca geometryczne punktów, w których zmienna Y ma stałe wartości. Obszar określoności zmiennej Y należy podzielić na podobszary ze względu na warunek, aby wyrażenia podcałkowe w granicach całkowania były funkcjami ciągłymi. Warunek ten jest spełniony oddzielnie dla obszarów trójkątów DBA oraz DBC.

Aby obliczyć całkę oznaczoną wyrażającą gęstość prawdopodobieństwa p_Y (y), należy ustalić granice całkowania dla zmiennej X_r Całka splotowa jest różna od zera tylko wtedy, gdy różna od zera jest funkcja podcałkowa, tj. gdy gęstości prawdopodobieństwa p_Xl(xj) i Px₂(y~^xi) się pokrywają. Jak wynika z rys. 11.3, przy zmianie y od -oo do oo, tj. przy przemieszczaniu gęstości Px₂    ² lewej strony na prawo względem gęstości p_X[ (xj), takie pokry

cie wystąpi w dwóch przedziałach całkowania (obszary zakreskowane) zmiennej x{. 0 < x, < y (rys. 11.3a) i y~b<x_l<b (rys. 11.3b).

a)    b)

Rys. 11.3. Splot gęstości prawdopodobieństwa: a) 0 <y < b, b) b <y ś 2b

162

W obszarze określoności kompozycji zmiennych zakresy zmienności poszczególnych zmiennych i przedziały całkowania są następujące:

•    dla trójkąta ABD

0<y<b,    0 < x₂ < b, przedział całkowania: 0 < x_t < y,

•    dla trójkąta BCD

b<y<2b,    0<x₂<b, przedział całkowania: y-~b<x_l<b.

Obliczenie jCałki splotowej^ dla wyznaczonych granic całkowania zmiennej X_x daje wynik:

dla 0 < y < ó,

2 b — v

——— dla b<y< 2 b,

Py(f)-0 dla y<0 i y>2b.

Wyznaczona gęstość p_Y(y) jest trójkątem równoramiennym o podstawie

2b i wysokości -J- (na rys. 11.4 funkcja nr 1). b

Rys. 11.4. Gęstości prawdopodobieństwa sumy Y=X^ + + X₂; 1 - z wyznaczenia splotu gęstości, 2 - z oszacowania normalnego

Uwzględniając, że parametry liczbowe zmiennej Y wynoszą:

_l^-E(y) = E(X,) ₊ E(jr₂) = |Ą = b i e} =4, +4,

^z z    12    12 o

gęstość prawdopodobieństwa p_Y(y) z oszacowania normalnego będzie dana zależnością:

Pr W

•Jliu

TUJ_v

3{y-b)² b²

Wykres otrzymanej zależności (na rys. 11.4 funkcja nr 2) wykazuje w przybliżeniu praktyczną zgodność z otrzymaną wcześniej kompozycją rozkładów (funkcja nr 1). Jednak obydwie zależności nie są zgodne z modelem rozkładu normalnego opisanego funkcją Gaussa.

_tAd 2^ Gęstość prawdopodobieństwa sumy trzech zmiennych losowych: Z = X_x + X₂ + X₃ = Y + X₃ można wyznaczyć z wykorzystaniem całki splotowej:

Pz{^z)= J Px_i{^x3)Py{^z-^xi)^ćx2-

-00

Przedział zmienności zmiennej Z:

‘‘‘niin    ² maks    3b.

Ponieważ p_x (x₃) i p_Y(y) mają środki symetrii, można zauważyć, że również p_z (z) będzie symetryczna względem punktu:

a, =

7    -4- 7

min maks _

0 + 36 2

1,56.

Należy uwzględnić, że gęstość p_Y(y) jest przedziałami ciągła i ma punkt nieciągłości dla y - b. Dlatego w obliczeniach wystąpią dwie całki nieoznaczone:

h =jpx₃ (¹,) Ar (z-¹,p¹, = fj-~^-dx_} = ~^-(2z-x_}),

r / \ _f x r\2b-(z-x₃) h = J Px₃ (^x2)P₂y (2- r₃)dx₃ = J --dx₃ =

⁼^p\A~^2x^^z~^2b)\-

Zmienna Z jest określona na płaszczyźnie YX₃ na rys. 11.5. 164

Rys. 11.5. Obszar określoności kompozycji zmiennych Y i X₃

Obszar zmienności zmiennej Z należy podzielić na podobszary, w których p_x (x₃) i p_Y (y) są funkcjami ciągłymi. Zakresy zmienności poszczególnych

zmiennych i przedziały całkowania są następujące:

• trójkąt/łRF’

0 < z <b,    0 < y < 2 b_y przedział całkowania: 0 < x₃ < z,

•    równoległobok BCEF

b<z<2b, 0 < y < 2b, przedział całkowania: 0 < x₃ < z - b i z-b<x₃ <b,

•    trójkąt CDE

26 < z < 36, 0 < y < 26, przedział całkowania: z - 26 < x₃ < 6.

Obliczenie całek nieoznaczonych /, i I₂ w wyznaczonych granicach całkowania daje następujące wyniki:

•    dla 0 < z < b

^pX)=y_{b 2b}i

•    dla 6 < z < 26

²~^b z²-3 (z-6)^

Pz(^z) ^{= I}i

x-b

+ /,

2 6³

Na rysunku 11.6 (funkcja nr 1) przedstawiony jest wykres p_z (z), składający się z trzech wyznaczonych części parabolicznych.

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej Z wynoszą:

^=E(Z) = E(r) + E(X₃) = i.+| = y, o5=«J+<4_ł=Y⁺12⁼T

0,50

b

P(z)

Rys. 11.6. Gęstości prawdopodobieństwa sumy: Z-X₃+X₂ + X₃; 1 - z trzech parabolicznych części z wyznaczenia splotu gęstości, 2 — z oszacowania normalnego

Gęstość prawdopodobieństwa p_z(z) z oszacowania normalnego będzie dana zależnością:

Pz(^z)“

2<t|

2(z-l,56)² b²

Wykres otrzymanej zależności przedstawiono na rys. 11.6 (funkcja nr 2). Zgodność obydwu funkcji z modelem rozkładu normalnego opisanego funkcją Gaussa jest wyraźnie większa w porównaniu z wynikami otrzymanymi dla sumy dwóch zmiennych losowych.

Pz(^z) ^{= I}i

b

z-2b

{^3b~^Zf

2 b³

1

dla 26 < z < 36