zdjecie
1

i l WIELOMIANY

przykłady

-* x^$ - 3x* - 8x* ♦ 2Ax² - 9x ♦ 27 - 0 x⁴(x - 3) - 8x²(x - 3) - 9(x - 3) - O (x-3Mx⁴-8x²-9)-0 x - 3 • O lub X⁴ - 8x² - 9 - O

x - 3

x ■

f² - 8f - 9 - 0 A - <-8)² - 4 • (-9) - 100

vS- io

b-S^-9

w miejsce x² podstawiamy r | rozwiązujemy otrzymane rów nante z niewiadomą r

rozwiązujemy równania x² - fi i x² - f₂

¹²" 2 "⁵ x² =* -1 lub X² - 9

równanie

sprzeczne x • 3 lub X - -3

x« 3 lub x«-3

I2x⁶-3x² «0

3x²(4x⁴ - 1) ■ O

3x²(2x² - l)(2x² +1) = O

3x² « O lub 2x² -1 « O lub 2x² + 1«0

x ■ 0

równanie

x

2

sprzeczne

x«Q lub x = ^ lub x--g

Zastanówmy się teraz, jaki może być związek między stopniem wielomianu W(x) a liczbą pierwiastków tego wielomianu.

Wiadomo, że wielomian pierwszego stopnia ma jeden pierwiastek (każde równanie postaci <ix ♦ b = 0, gdzie a 4 0, ma jedno rozwiązanie).

Wiadomo także, że wielomian drugiego stopnia może mieć dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek, lub może nie mieć pierwiastków.

Ćwiczenie D. a) Każdy z Irzech poniższych wielomianów jest wielomianem trzeciego stopnia. Ustal Ue pierwiastków mają te wielomiany.

U(x) = x(x - 2)(x + 3)

V(x) = (x + I )(x^z - 3x + S) W(x) • x(x ♦ 5)²

b)    Podaj przykład wielomianu czwartego stopnia, który nie ma pierwiastków.

c)    Podaj przykład wielomianu piątego stopnia, który ma tylko jeden pierwiastek.

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia < o najwyżej drugiego (zob.

str. 17). Wobec tego:

-» Wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków (wielomian n-tego stopnia można rozłożyć na co najwyżej n wielomianów pierwszego stopniał.

-Si Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek (ponieważ w jego rozkładzie na czynniki musi występować co najmniej jeden czynnik pierwszego stopnia).

W takim razie wielomian stopnia trzeciego zawsze ma Jakiś pierwiastek, ale nic może mieć ich więcej niż trzy. Natomiast wielomian czwartego stopnia może nie

mieć pierwiastków, ale jeśli ma pierwiastki, to nie więcej niż cztery.

Ćwiczenie E. Zapisz wielomian jak najniższego stopnia, który ma sześć pierwiastków.

P(x) = (x - 7)²(x - 5)³

Rozważmy następujące wielomiany: W(x) - (x - 7)(x - fi

Pierwiastkami każdego z tych wielomianów są liczby 7 i 5.

W rozkładzie wielomianu M'(x) na czynniki dwumian x-7 wy stępuje raz, a dwumian x - 5 występuje dwa razy, gdyż W'(x) = (x - 7)(x - 5)(x - 5). Mówimy, że liczba 7 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu W'(x), a liczba 5 — jego dwukrotnym pierwiastkiem.

Zauważ, że w rozkładzie wielomianu P(x) na czynniki dwumian x-7 występuje dwa razy, a dwumian x - 5 występuje trzy razy, gdyż P(x) = (x - 7)(x - 7)(x - 5)(x - 5)(x - 5). Mówimy, że liczba 7 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu P(x), a liczba 5 jest pierwiastkiem trzykrotnym tego wielomianu.

Niech W(x) będzie niezerowym wielomianem. Liczbę a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy' ten wielomian możemy przedstawić w postaci:

fV(x) = (x- a)^k • P(x),

gdzie P(x) jest pewnym wielomianem i liczba a nie jest jego pierwiastkiem (czyli

Piat 4 0).

Ćwiczenie F. Liczba -1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), a liczba 7 jest pierwiastkiem pięciokrotnym. Co można powiedzieć o stopniu wielomianu W(x)?