Ekstrema Funkcji (3)

3

Zadanie 3. Obliczyć wartości ekstremalne funkcji y(x) = xV8 -x² .

Rozwiązanie. Funkcja y(x) = xV8-x² jest określona dla 8 - x² > 0, tj. dla - 242 < x < 242 . Pochodna funkcji y{x) = x48-x² jest równa

/(*) -

— (xV 8-X¹ )= 1-V8-x² + x •

dx ^v

- 2x 2a/8-x²

2(8-x²)-2x² 2^8-x²

8-2x² a/8-x² ’

przy czym musi być x ^ ±2^2 (w rozważanym przypadku obszar określoności pochodnej nie

8 — 2x²

jest identyczny z obszarem określoności funkcji). Mianownik wyrażenia .---------- jest dodatni

V8 -x²

w obszarze istnienia pochodnej, zatem pochodna zeruje się w tych punktach, w których zeruje się licznik, tj. w punktach x, = -2 oraz x₂ = 2 .

Ponadto (badanie monotoniczności):

dla x < —2 pochodna j/ jest ujemna — funkcjay jest malejąca, dla -2 < x < 2 pochodna _y' jest dodatnia - funkcjay jest rosnąca, dla x > 2 pochodna y jest ujemna — funkcjay jest malejąca,

zatem w punkcie xi = -2 funkcja y ma minimum lokalne, a w punkcie xj, = 2 funkcja _y ma maksimum lokalne.

Ekstrema lokalne funkcji y(x) = x4%-x² są równe: >’_m,_n = y(-2) = -4, jw = >’(2) = 4.

Zadanie 4. Obliczyć wartości ekstremalne funkcji _y(^x) = xVx² - 2 .

Rozwiązanie. Funkcja _y(x) = x-Vx² -2 jest określona dla x²-2>0, tj. dla x>±42. Pochodna funkcji >'(x) = x^x² -2 jest równa

y(x)

(xVV -.2 j= 1 • Vjc² — 2 + x •

2x

2(x² - 2) + 2x²    2x² -2

2-4*

24.

x² -2

yjx² -2 ’

przy czym musi być x * ±V2 . W rozważanym przypadku obszar określoności pochodnej

2_x2    2

wyznacza warunek x > ± V2 . Licznik wyrażenia ,    zeruje się w punktach x, = -1 oraz

Vx² -2

x₂ = 1, a więc w punktach poza obszarami określoności funkcji i jej pochodnej.

Wniosek: Funkcja y(x) = x4x² -2 nie posiada ekstremów lokalnych właściwych.