Granica i ciaglosc fukcji strh 69

, Pokazać, że funkcja /:lR^ł - R,

:* + /

dla (x,y)#(0,0)

f(*.y) -

jest ciągła na !&².

47. Pokazać, że funkcja /: H² -+ IR, określona

dla (x,y) = (0,0),

xy

dla (x,y) ^ (0,0)

l 0 dla (x,y) = (0,0), jest nieciągła w punkcie (x,y) = (0,0).

/ w-

48. Pokazać, że funkcja /:&-*&, określona w następujący sposób c niewymiernych [0 dla x wymiernych, jest nieciągła w każdym punkcie x e l&.

49. Uzasadnić, fv HI ?(*) = <

e funkcja tp: R -*Dl określona wzorem

}0 dla x niewymiernych, jest ciągła tylko w punkcie x = 0.

50.    Dobrać a e l& tak, żeby funkcja

L a dla x = 0, była ciągła na !&.

51.    Niech    będzie określona następująco:

2+e* dla x < 0

dla x > 0

lim (2 + e*) dla x = 0.

Dobrać a tak, żeby ta funkcja była ciągła na §L

była ciągła na zbiorze 1%.

Część B

54. Obliczyć granice:

oznacza cechę liczby

■) li® * QJ. gdzie ozr

b) lim----

d) limi^

0 lim

wtta.

55. Obliczyć

56. Zbadać ciągłość następujących funkcji: ■)/<*)= lim -'"" ^

®n* + n b) f(x) ~ sgn (sin x),

o/w-j™”¹ t

e sgnx

dla x wymiernych dla x niewymiernych.

57. Niech /:!I -»*4 będzie funkcją określoną w następujący sposób: jeśli lent liczbą niewymierną, to /(x) - 0; jeśli x jest liczbą wymierną. x -