Image51 (13)

100

Funkcja Lagrange’a

L — E_k E_p,

stąd równania Lagrange’a II rodzaju przyjmują postać:

Wobec tego

d dL	dL	= Jt u*
dl dxs	dxs
d dL	dL	d r/
dt dys		= dt^C(m
d 8L	dL	d r/
dt dcp	dcp	dl ^[(m‘ ^r>
• • =	- 0,	ys = ^(

[(mi 4- m₂) xj = 0,

0,

[K 4- m₂) yj

= 0.

(P

0.

Stąd wynika, że układ obraca się jednostajnie dookoła osi, a równocześnie środek obrotu przesuwa się ruchem jednostajnym w płaszczyźnie (x, y).

2.40. Funkcja Lagrange’a wynosi

L = ~ m (x² 4- y²) = ^ m (r² 4- r²cp²).

JL*    JLa

Koralik ma jeden stopień swobody, więzy sprowadzają się do warunku cp — oj = const, tj.

L = ^ m (r² 4- co² r²).

Stąd równanie Lagrange’a daje

r — co² r = 0.

Całka ogólna tego równania ma postać

C_v e°* 4- C₂

co po uwzględnieniu warunków początkowych daje:

r — — sin/z (ot), co

v — v_Q cosh (cot).

2.41. Funkcja Lagrange’a we współrzędnych kartezjańskich przyjmuje postać

1

L = - m (x² + y^L + z²)

\2

12

- E„ (x, y, z),

stąd

dL

dx

dE

p _

dx

= F_rt

d (dL

dt \dx

= — (mx) — mx dt

Podstawiając te wyniki do równania Lagrange’a otrzymujemy

* W

mx — F_x.

Postępując podobnie dostaniemy dwa pozostałe równania.

2.42. Wykorzystamy związek między pracą a energią potencjalną. Oznaczmy przez h₁ położenie powierzchni cieczy względem dna naczynia - przyjętego za poziom odniesienia.

Wtedy

o

= (mg - Vpg) dz + mg dz = mgh - Vpgh_i < E

gdzie: V — objętość ciała, p - gęstość cieczy.