img418 (3)

Widzimy, że nie możemy zatem określić, do czego dąży iloraz dwóch takich ciągów, nie znając postaci tych ciągów.

Jest to problem wymagający głębszej analizy. Iloraz dwóch wyrażeń, z których każde dąży do zera, nie ma jednoznacznie określonej wartości liczbowej, ponieważ wartość ta zależy od postaci danych wyrażeń. Jeśli zapiszemy iloraz

granic tych wyrażeń, to otrzymamy symbol nieoznaczony ^. Podobna sytuacja

występuje wtedy, gdy mamy iloraz wyrażeń dążących do nieskończoności (+oo

lub —ao) - i wówczas mówimy o symbolu nieoznaczonym — (spróbuj uzasadnić

na przykładach ciągów, dlaczego to jest również symbol nieoznaczony). Nie są to jedyne symbole nieoznaczone. Jest ich jeszcze pięć; oto pełna lista:

O

0'

00

00

i — oo, O • oo, 0°, oo° ii⁰⁰.

Tak więc nie są jednoznacznie określone wartości liczbowe:

a)    różnicy dwóch wyrażeń, z których każde dąży do +oo albo do -oo;

b)    iloczynu dwóch wyrażeń, z których jedno dąży do O, a drugie do nieskończoności (+oo lub -oo);

c)    potęgi dwóch wyrażeń dążących do zera;

d)    potęgi dwóch wyrażeń, z których wyrażenie w podstawie dąży do nieskończoności, a wyrażenie w wykładniku dąży do zera;

e)    potęgi dwóch wyrażeń, z których wyrażenie w podstawie dąży do 1, a wyrażenie w wykładniku dąży do nieskończoności.

1 ⁿ

1 + -    = e. Można też wykazać, że

/

W drugiej klasie dowiedziałeś się, że lim

, _N    n-> oo

e

lim 1- -

n

Tak więc mamy tu przykład dwóch potęg, w których podstawa dąży do jedności, wykładnik zaś do +co. Pierwsza z potęg dąży do e, natomiast druga do -. To uzasadnia fakt, że 1⁰⁰ jest symbolem nieoznaczonym.

■^f-1

x—1

Zdobyte wiadomości wykorzystamy teraz do poznania pewnych nowych własności funkcji.

Weźmy pod uwagę funkcję f(x) =

Funkcja ta nie jest określona w punkcie

x₀ = 1. Zobaczmy, co dzieje się z wartościami tej funkcji, gdy argumenty są licz-bami coraz mniej różniącymi się od 1. Trochę informacji o tym możemy uzyskać, analizując tabele podane niżej sporządzone z wykorzystaniem komputera.

Zauważmy, że w każdej z tych tabel kolejne argumenty funkcji są coraz bliższr III . by I (są jednak od niej różne), ale w pierwszej tabeli wszystkie te argu innnty są liczbami większymi od 1, w drugiej mniejszymi od 1, w trzeciej n; pi/rmlan: mniejszymi oraz większymi od 1 (ale zawsze coraz bliższym I I różnymi od 1). W każdym z tych trzech przypadków kolejne wartości funk

i |l Mają się coraz bliższe liczby - .

X /(*)	* f(x)	X f(x)

I/,    0,44949    0,5    0,585786    1,5    0,4494')

W)	0,464102 0,(6)	0,55051 0,(6)	0,55051
1,25	0,472136 0,75	0,535898 1,25	0,472136
	0,477226 0,8	0,527864 0,8	0,527864
u	0,488088 0,9	0,513167 1,1	0,488088
1.0,	0,498756 0,99	•■.t im kgHMgk ■ n*,i yj?' ’^s* v, 0,501256 0,99	0,501256
1,001	0,499875 0,999	0,500125 1,001	0,499875
1,0001	0,499988 0,9999	0,500013 0,9999	0,50001 3
1,00001	0,499999 0,99999	0,500001 1,00001	0,499999

Poszukajmy teraz pewnych prawidłowości w danych z powyższych tabel. Można się łatwo przekonać, że w pierwszym przypadku argumenty funkcji

wyrazami ciągu a_n = 1 + ^ . Tak więc są one odpowiednio: pierwszym, dt

glm..... piątym, dziesiątym, setnym, tysięcznym, dziesięciotysięcznym i stu

slęcznym wyrazem tego ciągu.

Podobnie w drugiej tabeli argumenty są wyrazami ciągu b_n = 1 ,awtr/e<

(_1)n    ⁿ

wyrazami ciągu c_n = 1 + *—^L~. Bez trudu stwierdzamy, że te trzy ciągi m

granicę równą 1, a wszystkie ich wyrazy są różne od 1.

1 +

W pierwszej tabeli kompulcr oblicza) J (a_n)