MATEMATYKA154

298 VI ('iągi i szeregi funkcyjne

Jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego (f_n) na zbiorze X oznacza, że wykresy wszystkich funkcji f_n(x) dla n > K położone są w pasie f(x)-e<y <f(x) t-e dla xeX, (rys 1.1).

Zwróćmy uwagę, że zbieżność punktowa ciągu funkcji ciągłych mc zapewnia ciągłości funkcji granicznej. Ilustruje to przykład 1.1 b):

PRZYKŁAD 1.1

a) Rozważmy ciąg fUnkcyjny (x/n),xe<0,l>. Dla każdego ustalonego X€<0,1> mamy lim(x/n)»0. Zatem granicą tego ciągu na tym przedziale jest funkcja stała f(x) = 0. Jest to ciąg jednostajnie zbieżny na tym przedziale, (zob. rys. 1.2). Ogólniej: ciąg (x/n) jest jednostajnie zbieżny (a więc i punktowo zbieżny) do funkcji f(x) = 0 na dowolnym przedzjalc domkniętym < a,b >.

b) Ciąg (xⁿ) dla x e< 0,1 > jest zbieżny punktowo do funkcji

dla x G< 0, l), dla x =1.

Rvs 1.3

Nie jest to ciąg jednostajnie zbieżny na przydziale < 0,1 > (por rys 1.3)

Ogólniej.

lim xⁿ =

n-**¹

nie istnieje 0 1

+00

dla xS-l, dla -1<x<1, dla    x= 1,

dla    x>l.

TWIERDZENIE 1.1 (o ciągłości funkcji granicznej). Jeżeli ciąg funkcyjny (f_n) funkcji ciągłych na zbiorze X jest jednostajnie zbieżny na tym zbiorze do funkcji granicznej f, to f jest funkcją ciągłą na tym zbiorze.

WNIOSEK. Jeżeli funkcja graniczna ciągu funkcji ciągłych na zbiorze X nic jest funkcją ciągłą na tym zbiorze, to ciąg len nie jest jednostajnie zbieżny na tym zbiorze.

Na przykład ciąg ( j-¹—) funkcji ciągłych na przedziale <0,+») jest zbieżny

do funkcji f(x)~    ^    f unkcja f nie jest funkcją ciągłą na przedziale <0,+oo),

zatem ciąg ten nic jest zbieżny jednostajnie na tym przedziale.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1. Naszkicować wykresy kilku pierwszych wyrazów ciągu funkcyjnego:

a)(x")	dla |x|<a, 0<a<l,	^b) (n+7^x)	dla xeR,
^c><^^x)	dla |x|<a.	^d)( n ^x)	dla x<=R.
c, (Sil*	dla |xj£a,	0(e ^M)	dla x > 0,
g) (e^m)	dla x > 0,	h) (e ^ax)	dla x£a>0,
0 (e")	dla |x|< a,	j) (^)	dla |.\|£ic.

2. Znaleźć funkcję graniczną f ciągów z zad 1. Czy funkcja graniczna jest funkcją ciągłą? Czy ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie⁷

Odpowiedzi

2 o) f(x)*0, lak, lak. b) f(x)=x, tak, nie, c) f(x)-x, tak. tak. d) f(x)»x. lak. nie, e) f(x)»x.tuk. lak, f) f(x)*0,tak,nie, g) f(x)—    ^ nie, nie,

h) f(x)»0, tak, tak, i) f(x)»l.Utk. tak, j) f(x)*=<), lak. tak