Obraz0 (121)

52

i

O

i'.-j    "

........

..v,    <

fe-3

5ff«

cja) . W ogólnym przypadku przyrost funkcji f, zależnej od x, y, z, t wynosi :

df = 4^- dt +

Df

dx +

Df

dy +

D f

dz

l⁽⁴⁷⁾

Dt * Dx ’ Dy

Jeśli przyrost ten (df) ma dotyczyć tej samej cząsteczki, to przyrosty przesunięcia dx, dy, dz nie mogą być dowolne, lecz muszą odpowiadać przebytej przez cząsteczkę w czasie dt drodze czyli:

dx = v v(x, y, z, t) dt

dy = v^(x, Y» z» t) dt

,    dz = v (x, y, z, t) dt

^z

Podstawiając powyższe związki do równania (47) otrzymamy rost parametru (df) , którego doznaje ta sama cząsteczką czyli ta sama substancja w czasie dt:

(df)

sub

Df

Dt

dt +

f vdt ₊ Dx x

^v dt + Dy y

(48)

przy-

płynu,

|i-V dt D z z

W celu ułatwienia pisowni przyrost substancjalny (df)_suk oznaczać będziemy symbolem Df. Dzieląc ostatnie równanie przez dt, o-trzymamy pochodną substancjalną wielkości f(x, y, z, t)

Df (x, y, z, t) _ D f dt

!

Df . Df

- v + ——

Dx x Dy

. Df • v + ——v y Dz z

(49)

■    #4    * \ 4-    ^m.\    /I «r nr    /lrv r*

- .V-• *- ; T-Yjt'jl«

.-V-- _{r :}:; . 4    ' -    ‘    ^

W szczególnym przypadku, gdy parametr f oznacza składową prędkości w kierunku osi x:    ^vx(^x# Y$ ^z» t) , to pochodna substancjalna

Dv_x/dt oznacza przyspieszenie tej samej cząsteczki w kierunku osi a więc przyspieszenie, które występuje w wyżej wspomnianym prawie Newtona.

Drogę, po której biegnie dana cząsteczka płynu nazywamy jej to-rem, Stąd też pochodną substancjalną możemy określić jako pochod-ną wzdłuż toru :

	,
kL 'i

• ' i.*y»,

(—)    = (—)

\dt/    \dt/

tor

sub

Df

dt

Występujące po prawej stronie wzoru (49) wyrażenie przyjęto nazywać

Df

Dt

Df

- pochodną lokalną

Df

\

Df

V +    ~7=r--V +

x D

v - pochodną konwekcyjną.

I

Dx x Dy y Dz Pojęcie pochodnej substancjalnej odgrywa ważną rolę w analizie Eule-

\