P1111257

20

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Zauważmy, że zawsze, gdy całka ma postać

rm¹- jlllfe

j f(x) J f(x)

f(x)

a więc gdy w wyrażeniu podcałkowym licznik'jest różniczką mianownika, podstawienie / f(x) prowadzi do celu:

f¹L-\_n |/|+C- In |/(x)|+C.

Zgodnie z powyższym mamy

(b)	J ctg x </.r ■«=	f d sin x / sin x
(c)	f ^e^1^X dr ^1 f	d(e^2^1+\)
	J e^1^x+l 2 J	e^2^1-fl
(d)	f dx _____	f dxlcos^2x
	J sin x cos x	tgx

y In (e**+I)+C, — In ltgxl+C.

11

[por. 4) (b)J;

6) Z ostatniej całki otrzymujemy łatwo dwie następujące pożyteczne całki:

(a)

r-A-=r—||§

•/ sin X j ein _L V e

x    i

■ l+c,

sm -j- x cos —x 2 2

• In tg-i x

(b)

Ml f ^[    - InHH₊C.

•I cos x j sin (x+-^n)    ^{1    2    4    1}

7) (_a) I /^arctŁ^._<fa— f l/arćtgT</arctgx = 4(^arc tg¹)^3,2+C,

J l+x²    ?    ³

(b)	f e^xdx J
(c)	J X x^2
[patrz. 4) (b)J.

(e¹)²+l

cos—I

X

+ C

reoanjy kim mim ^u/Mauuw wmunoum    i¹ Ł»mviojijvjvn unuuuany Kształtu a —z , X t

•fa² i x²~o². w tych przypadkach wygodnie bywa zwykle zastąpić x przez funkcję trygonometryczną lub hiperboliczną nowej zmiennej / i skorzystać z równości

sin²/+cos²/ — 1,    1 -j-tg²/ =

cosh²/—sinh²/ = 1,    1 — tgh²/«

1

cos²/ i

1

cosh²/

g) f—&—.

' | 0c²+o²ł²

Podstawienie: x - a tg / (¹), dx — ~~ , x²+o² «■ —2L_ _a wj_ec

cos²/    cos²/

| ui+a¹)^{1    <,+,in} '^{co1,)+ c}■    1267,(17)(a)].

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

21

Przejdźmy teraz do zmiennej x podstawiając z powrotem t *=* arctg — i wyrażając sin t i cos / przez

a

x _

tg / -= — . Ostatecznie otrzymujemy

C_dx_    1 x ,    1    , x , ~

J (x²+a²)² " 2a* ' x²+a^{2 +} 2o*    ** a ^{+ C}*

⁹⁾ f / ^dX..... •

Tu wygodniej jest stosować podstawienie hiperboliczne. Rozważmy na przykład dolny znak. Podstawiamy x = acoshr (x>0, r>0), dx = asińhtdi, y x²—a³ ■ asinh/. Całka sprowadzi się po prostu do \dt = t+C. Aby przejść do x, przypomnijmy sobie funkcję odwrotną względem cosinusa hiperbolicz-nego [49,3)1; otrzymujemy

^:,n(f⁺ }/ (t)'"¹ ) ^+c“¹⁰

przy czym do stałej C' włączamy takie składnik —Ina.

cos /

cos t

cos²/

W danym przypadku do celu prowadzi równie łatwo podstawienie trygonometryczne jak i hiperboliczne. Weźmy na przykład w drugiej całce x = —°    , dx — —— [ — =    *- - , wówczas

f    mm J- f cos i di _ I 1 ,_r _ 1 x ■ _r

~    * • J (**—a²)^i,a a² J sin²/ a² sin r    a²    y^t²—a²

id / /*

^ x/a²-x²

Podstawienie x = asm/, dx = acostdt sprowadza tę całkę do postaci

+C.

a •/ sin / a

[p. 6) fa)J. Ale

tg-L . 1 —cos / _— a— Va^l—x² 2 sin /    x

a więc ostatecznie

f — mm -L |n	a-Va^1~x^x
^3 x}/d^l—x^x o	X

+ C.

Rozpatrzmy na zakończenie jeszcze dwa przykłady całkowania przez zamianę zmiennej, w których podstawienie nie jest co prawda tak naturalne jak w poprzednich przypadkach, ale za to szybko prowadzi do celu.

/ y?+«T dodatnie, ^uj^c,”^ne lub zeroV

1

Przy czym wystarczy założyć, że / zmienia się między ¹ i ¹ _w