Picture5

3° a • b a 4 /> t    4,    „u /> „A

4°a°A^:=a + A +    5,    a o b uh

5° a ° A = a + A -    I,    aa b- ab

6° a° b = a + b-2,    a a b = ab

c)    (R²,    □), gdzie:

l°(c/, b) °(c,d) = (a + c, b + cl),

2° (a, b) - (c, d) = (_a + c,b + d),

3° (a, b)°(c, a) = (« + _c, i + d),

d)    (A, +, •)> gdzie: A = {„, b, c} oraz

i 4a i 4/> + 12,

• 5 u +5 h + 20,

-a-b + 2,

- 2a - 2b + 6,

+	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

(a, b) a(c,d) = (ac, Ar/),

(a, Z>) □ (c, r/) = (ac - Ar/, ad + bc), (a, b) a(c,d) = (ac, ad + bc + bd),

	a	b	c
a	a	a	a
b	a	c	b
c	a	b	c

c) (A, +, •), gdzie: A = {-1,0, 1},

0 (/W' °> ⁿ)> gdzie: X° Y = (ATu łOH^n JO-

13. Czy (V, ©, *) jest przestrzenią wektorową nad ciałem (R, +, •)?

a)    F-R, *©.y = (*| +y,,*₂ + y₂), zaś określone jednym z poniższych wzorów:

l⁰a*x = (ou,,ou₂),

2° a * x = (cu,, x₂),

3° a * x = (0, ou),

4° a * * = (2avi, ou₂),

b)    V- R , x ©y - (ją +y_]t x₂ +y₂, x₂ + y₃), zaś 1° a * x = (cu,, x₂, cu-,),

2°cx*;c = (0, 0, 0),

3° a * .r = (ou,, 0, 2ou₃),

c)    V— R, x®y = x+y, a * _x = ar,

d)    ^^=R>    *©JV = * + y + 2, a * * = cu + 2a - 2,

c)    V= R,    x®y = x+y-₃, a * * = cu-3a + 3,

0    V- R+,    x®y = xy, _a*x = x^a,

g)    V-R^,    jc©^ = (jc, +y_t,x₂+y₂+ I), a * * = (cu,,    cu₂ + a -    I),

h)    V- R%    x®y = (_Xl +y_hx₂+y₂ + 3), a * * = (cu,,    cu₂ + 3a-3),

I) F=R-, ,V©>) = (JC! +y_t + 4,x₂+y₂-5), a *;t = (cu₁ + 4a-4, cu₂-5a+5), j) {/■/(*) = ax² + bx + _C\ a, b,c e R}

(/'© g)(x) =f(x) + g(_x)j (a * f)_{(x) =} a/w

3.3. Morfi/my struktur

Definicja 3.7

Dwie grupy (A, °) i (A\ 0) są ho/nomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy c.l nieje odwzorowanie h. A —> A' spełniające warunek:

A h(a ° b) = Ii(a) 0 li(b).

a.łużA

Definicja 3.8

Ciała (A, °, □) i (A\ •, ■) są homomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istmeji odwzorowanie h: A—>A' takie, że:

1° A h(a ° b) = h(a) ■ h(b),

a,heA

2° A h(a a b) = h{a) ■ h(b).

u,heA

Definicja 3.9

Dwie prźestrzenie wektorowe (f, ©, *) i (D, ■, •) nad tym samym ciałem (A.', °, □) są homomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowana h: V V takie, że:

1 ° A h(x@y) = h(x) m h(y),

x_yyeV

2° A A hia * x) = a • h(x).

aeK

Jeżeli dodatkowo odwzorowanie h jest bijekcją, to struktury są izomorficzne. Przykład 3.7

Niech będą dane grupy: (A, °), gdzie: A = (2, +<»), zaś a ° b = ab - 2a 2/> i (> oraz (R+, •). Odwzorowanie h{x) = x-2 jest bijekcją i jest morfizmem tych grup, ponieważ:

\)h\A -> R„

2) A h(a ° b) = h(a) ■ h(h),

o_theA

L = h(a⁰ b) = h(ab — 2a — 2b + 6) = ab - 2a - 2b + 6 - 2 P * h(a) ■ h(h) = (a- 2)(b - 2) = ab -2a-2h+A L = P.

Wykazaliśmy zatem, że grupy (A, °) i (R,, •) są izomorficzne.