zdjecie0014

16

Dowód warunku koniecznego, tzn.

Z:    K ■ nop Z.

T. Zachodzą warunki 112,

Warunek 1- wynika bezpośrednio z definicji kresu górnego. Kicch £ będzie dowolną liczbą dodatnią. Przypuśćmy, Ze Vx€X, x < Z - £ . Zatem Z - £ Jeet liczbą ograniczającą zbiór I z góry 1 Z - £ -i 2, a to jest sprzeczne z definicją kresu górnego.

Dowód, warunku wystarczającego, tza.

Zr Zachodzą warunki 112.

I. Z - sup I.

Z warunku 1. wynika,-ze 1 ogranicza zbiór I z góry. Wystarczy więc wykazać, ie I jcot najsnicjczą z liczb ograniczających zbiór X z góry. Przy-puśósy, że i3tnicje liczba I, <X ograniczająca zbiór X z góry, tam.

V xe I x X₁. PolóZey £ » —Z warunku 2. wynika 2e istnieje x_qG X takie, źe x_o > 2 - £    . A zetem x_Q> X -    ^    ,

czyli x_o>-^(X +    X., co Jest sprzeczne z tyn, 2o K₁ Jest

liczbą ograniczającą zbiór X z góry. Analogicznie można wykazać następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1.3. Liczba rzeczywista k Jest kresem dolnym zbioru X c R wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. VxeX, k<Jx.

Z. V£>0    € X:    x„ < k ♦ £    .

O    o

§ 2. ODWZOROWANIA

51ech X i X będą dowolnymi zbiorami

Definiola l.A. Odwzorowaniem f zbioru X w zbiór T lub funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze X, nazywa się przyporządkowanie, które każdemu elementowi x e X przyporządkowuje dokładnie Jeden eleccnt y - f (z)ęl. Odwzorowanie to oznaczać będziemy sym-