62668 MATEMATYKA137

264 V. Całka oznaczona

2.    Stosując twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie lub przez części dla całki oznaczonej obliczyć:

e fi—-    */2    1

a) Jsin^,xsin2xdx, b)J——dx, c)Jxcosxdx, d)Jln(x² + l)dx.

<>    > ^x    o    o

3.    Korzystając z addytywności całki oznaczonej względem przedziału całkowania obliczyć:

J    n    •

a)J|x-2|dx, b)J|cosxjdx, c) J|lnx|dx,

0    I)    l/f

1    J    I

d) Jf(x)dx, jeśli Jf(x)dx = ll i Jf(x)dx = 7.

i    i    -i

J    i    i

e) Jf(x)dx, jeśli Jf(x)dx = ll oraz |f(x)dx=-5.

i    i    -i

4.    Wykorzystując nieparzystość albo parzystość funkcji podcałkowej, obliczyć:

-i

1 2 1 a) Jx²arcsmxdx, b) Jx²ln^^dx, c) J|xjx²dx,

w    I    */4 _    3

d) fx³cosnxdx, e) f(2^x~2“^x)dx_T 0 f ^X-dx. ^J    JIĄ cos X

-n    -I    -*/4

Bez wykonywania całkowania ustalić znak całki:

O    1*0

a) Jx²arcsinxdx, b)Jx²lnxdx, c)Jxsinxdx, d) Jx^:cosxdx

-I    1/2    0    */2

6.

Na podstawie własności (9) całki oznaczonej, oszacować całki:

I 2 A    ¹

dx, b)J*JV**dx, c)J=Jc^Mnxdx.

Obłiczyć pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego liniami: a) y=x²,y=0, x=3,    b) y*Vx.y=0,x=l,x=4,

c) y=l/x,y=0,x=-c,x=-l,    d) y=ln-,y=0, x=e,

e) y = arctgx,y = 0,x=—>/3,    O x = 2y-y\x = 0.

8 Oblicz>'ć drogę przebytą w przedziale czasu <0,T> przez punki materialny poruszający się z prędkością v = v„ +al

9. Obliczyć pochodną funkcji F(x), gdy:

i .    ^

c) F(x)= | _Tdt,    d) F(x)= je ¹ dt.

10.    a) Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji F, gdy

F(x)=f ft-dl dla xec-2,6>.

J t +3r+5

X

b)    Wyznaczyć przedziały wypukłości, przedziały' wklęsłości funkcji F, gdy

X

F(x)= Je“^,ł;2dt dlaxe<-3,3>.

-3

11.    Obliczyć wartość średnią danej funkcji na danym przedziale:

a) y = >/x, 0£x£9,    b) y = cosx, —

c)    y=cos²x_ł-~£x<;y_ł d) y = >/4-x², -2<xś2.

12.    Obliczyć średnią długość wszystkich dodatnich rzędnych elipsy

x7a²+y²/b² = 1.

13.    Znaleźć średnią prędkość v w przedziale czasu <0.T> swobodnie spadającego ciała z prędkością początkową v₀.

14.    Wykazać, te w-artość średnia funkcji f ciągłej na przedziale < a, b > jest granicą ciągu (y„) średnich arytmetycznych y_n wartości tej funkcji w punktach x₍ przedziału < a, b > dzielących go na n równych części, gdy ich liczba n —► oo: