fizteoria bmp

I-kład uieiYjatny.

Układ inercjalny lo laki, klóry spełnia pierwszą zasadę dynamiki Newtona izn. że jeżeli na cząstkę mc działa siła to po/ostaje ona w spoczynku. Układ ircrcjalny nic ma przyśpieszenia V"

* = —    V«w-R,

FU

to = 2ll/T 3,4 cm/i²

a = 0,6 cm / ł² - przyśpieszenie związane z ruchem obiegowym ziemi wokół słońca 11 tu dyn w lihdde nletnercjsłnym:

Ukl radnercjałny - porusza się wzgl. Uki inercjalnego z przyśp; w ukl oieineig D zas dyn opiszemy nasL F+F* " ma ; wynika lo ze oprucz siły F (wynik wzajemnego oddzi ciał) wyslgiuje jeszcze siła bezwładności; jeżeli ukl niein pomna się wzgl ukl inerc z przyśpieszeniem ai to

Środek maiy ukl N cząsteczek; wektor prędk fama ty:

Pod działaniem sil zwnętiznych, środek masy Ukl N Gn&ecxk porusza się tak, jak gdyby była skupiona w mm cała masa uki i przyłożona wyp wszystkich sił działających na ukl.

Praca siły przy pracnucszczeruu cząsteczki dla dowolnie’ małego przemieszczenia i pr/em ; związanego z obrote:

¹ - dla dowolnego:

;    5u> - F*5r

I

: .. dla przemieszczenia zw z. obrotem o kąt o<J»:

:    Ór “ Ótp x r

¹ Moment siły 5 W - F*5r - (r x Fj6o ; - Pica przy obrocie wyraża się wzorem:

5W - N « óq>

- praca iw nieskończonej drodze:

!    fP2

Podsiawowc prawa fizyki s;i iue/micnnic/i' (jedmkowej we wszystkich układach odniesienia, które porus/aią się w/ględem siebie m sialą prędkością bc/ prMpies/cnia i obrotu.

Oscylator Inmnoiiirniy thimiony l wyums/oin) stł^ okresowi) /.mi.-nni).

K ,i - F₀ sinołt

(11 x” + Zi\ ‘ ;o_gx - F.sincol

rozwiązanie lego rówicmia tworzymy / ro/wi-t/ania

ogólnego x«-., i ro/wią<2uua s/czcgólnego x.r->

i W

pl-p2

F dv

Pl

N    N

P • X -v. m ^ — ■

•I

-1

N

Z

fś>

> -1

z

i

-wektor położenia śrmasy definiuicmy:

nmVi

gdzie

! Energia potencjahui, Unetycana I calkowtta w ; ruchu hann.    ₇ ,

_: X(t)»A euj((oot + <po) Ek(t) * A nw Ep(t)= A kx Ec ** Ek+Ep * A mti)o³A² ■ 'A kA ¹ pole potencJahie;pole grawitacyjne: jp. polcngalie to pole sil w którym paca

l yyfcftrnnanartwyptrrainlmł^gfearńwliaO.

P-F/m (P- natężenie pola grawitacyjnego) -zdolność pola do przyciągania wytwarzania siły i energii poteoęjalne}) p-G*MM*x*

W-Fi

dW-F*«fc. (s-droga) dW-F*di-G*Mni/r2*r^A

W-mGm*(l/Ra- l/Rb) (W- praca w polu grawitacyjnym Rb-Ra- przebyta drop)

(3dy jafcw nyłp obdarzone masą modyfikuje w pewien sposób otaczqącą przestrzeń, wtedy mówimy o polu grawilacyjmn.

Energia potencjalna w póki «i potencjalnych Jest to po=a wykonana przez siły zewnętrzne przy jirjwini^g?c7entu cząstki materialne) z położona Po do P(xj,z); f*aca w polu sił poteajali&ch jcsuóczatżna od drogii po której przemieszczana jest cząstka. lp(aj-e)= Wpu-p-

i -1

- wektorptędkości śrmasy def:

P ■

N

rai

dR

sm

T⁵

_zewn F dv

0

F dv

T). *U

U =1

dt

MV

sra

M - całkowita masa ukl; Vsm - prdkość środka ■asy

Del wektora prędk. kątowej I związek tego trektarąz wektoremprpd.łUowrj.

** .*>

V=Um lim_3t x r

§r 8ę podstawiamy co i mamy: V*=wx^n wiązek prąd. kąt i lin.

d    da>    dr    da

— ■ — .(axr)*-    ~«E

dt dt    dt    dt    dt

*=E x r + a > V

Moc <Ba przemleucuili łbtłowego i związanego z obrotem:

P

lim

x-+0

boi

dl

lim

8t-»0

F dv dt

F • V

Ola ukl N cząstek Utai dyn możemy zapisać: Suma wszystkich sił zewnętrznych działających na poszczególne pkt ukl równa się pochodnej po oranie wypadkowego pędu pkt ukl:

F - Spłfit, gdzie F » jpi; p ^a £mivi

Prawo to jest równoważne tzw prawa ruchu śr

masy.

F “ M*a gdzie F - jest sumą wektorową sil sil działających aa ukl N cząoecffik a M -masą całkowitą ukl N cz^t Jeżeli na ukl nie działką siły zewn lub i suma = O to środek masy ukl porusza się menem jednosŁflnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku P“ Emm - const

Ukl m który me dnałąją «ły zewn łub ich wyp “ 0 nazywamy odosobnionym; powyższy wtór wyraża również zasadę ztth pędu, która mówi ze całkowity pęd ukl odosobnionego jest stały.

Def wektora prędkoid I przyśp; styczna I normalna do toru:

Wektor pr chwilowej def jako pochodną po era«ie wektora wodząceg} Sr

Xl = XKt> + X.n,

xi₍.) = Ac"'' sikali + a )

x.»i = Bsin(au + p)

pochodne tej funkcji w stawiamy do rozwiązania (I) i ofrzynaijciny

-B<o'sin(wi + (1) t-2/t B«'cos<ii>t +•!') + u>₀‘B sin(tnt + P) = fsinuM f= Fo/m

suk'1't + P) * 2/t Bt>'cos(on + P) = f

sinóM

rozpisując suK^t + P) i cos(o>t + P) oraz porównując współczynniki przy- funkcjach sin^t i cosu i otrzymamy

B(o>o³ - ®³)cosP - 2B®A sinp = f B(®o² - »³)sinp - 2B*>A cosp =• O

Podnosząc stronami do kwadratu i dodając stronami układ otrzymujemy

B'(W„' -co")‘cos‘P -ąB^ró/T (»„’ - w^sinPcosP + 4B^o*V sm²P *= f

('•' ^: - "I²;- .-iVy.cn -

cos'P •* o

B’(ó>.,³ - m')' + 4B't»7T' = f

F..

B =----

nW((i’

Z,wiązrk sity / energią potencjalną Ep Ep(x.yj) Rozważmy /jruany pr/y dowolnie małym przenueszc/eraii cząsfkt materialnej wzdłuż jednej z osi ukl wsp x -»\ > A\ Ro/wi.iajac funkcje Ep(x ^ł iV\.vy) na szereg potęgowy Hp(x <■ Ax.\,/( fip(x,y./.) ⁺ 6Ep/óx • Ax

Z drugiej slrony korzystając / definicji Ep(x + Ax,y.z) =•• Ep(vy.z) + AEp = Ep(\.y.z) - F«A\ otr/ymujemy F* = -dEp/dv

Szybkość zmian en potencjalnej

dl-.|) ( 4 .(> O.	^ 4-1> .J p tej
<tt l A <1	<h n ój
i
1	2
Efc ■ —	mv
2

s-(KVKłyW(v\WH \H'

Prędkość środka masy: n

i -1

nu

dRstn

dt

MVsm

gdy przysp jest Imhme to:

V(t)

P - F*V*cosa cosO = I => P = F*V

<*r(t)

dt

.. dr lira —

6t->0

dt

w wyniku bezpośredniego kontaktu lub /ii pośrednictwem pól pochodzących od innego ciała PĘD punktu materialnego na który nic działa żadna siła -const O zasada dynamiki

Przyrost pędu ciała jest równy iloczynowi d/ialającej

rei ciało silv i c/rtsu jej d/ialania żlp =    Ai

II-F-ri)    rn*n

r--!ii*dv/<h P=im'

PRAWO PĘDIJ. przyrost pędu ciała- wywartemu m to ciało popędowi

I(tl.tń)Fdf=l(pl.pOłdp-pl-p<> (IttO.tl)Kdt pojtęd)

PRAWO ZACHOWANIA PĘDU suimryc/m pęd punktów materialnych (ciał) układu odosobnionego const F^_-0 - ’dp/di n II' zasada iłynainiki

Jeśli ciało A działa na ciało B pewny silą. to ciało B dzaała na ciało A siłą o takiej samej wartości, takim samym kierunku i przeciwnym /w rocie Stty zachowawr/c. rtłrzachowawcze 1 żyniskopowr

Siła sprężysta wywoływana pr/cz idealną sprężynę oraz inne siły które działają w laki sam sposób nazywamy siłami zaclmwawc/ymi Talci silą jesi równię/ siła ciężkości Siła jest /actowawcza jeśli praca wy ko rema pr/cz tą sile nad pkt matcriałnyrn . który porusza się po dowolnej drod/c zamkniętej jest równa O. Siły tarcia i inne działające w len sam sposób są niczacho waw czc

Związek siły z. energią potencjalną:

1’ęd eiasliJ. moment pyrhi. 'none.nt

Pęd crattki -nazywamy wektor p /definiowany

jako iloczyn

jego masy oraz prędkości V: p= mV Pęd jest wielkością wektorową Moment pędu-jest wektorem Jest to iloczyn wektorowy wektora wodzącego i wektora pędu data l=r*p l-rpsimr

gdzie <»• jest kątem pomiędzy r i p kierunek tego wektora jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i p a jego /w ml znajdujemy regułą prawej lęki ZASADA ZACHOWANIA PĘDIJ- jeżeli moment siły działające) na ciało, ponis/ająccj się niclicm krzywoliiuowwn jest 0 to moment pedu ciała nie ulega zmianie Moment sih jest wielkością wektorową : je/cli siła F działa na poj pkt materialny znajdujący się M~r'F M-rF-sury

Momentem sity F ’ przyło/oncj w punkcie o wektorze położenia r ‘ nazywamy wektor M równy iloczynowi wektorowemu :

M ’ = r^ł * F "

Zwrot momentu siły zależy od tego . jaki kierunek obrotu nadałaby spoczywającej bryle siła F

Zderzenia sprężyste centralne Korzystamy z. zasady zachowania pędu: miui + rmu: ~ miVi + nuV2 zasada zach. cncrgi miui³ maił’ miVi² nt:V2³

2 2 2 2

miui+ rrtu: - miVi + nuV2 rmui³+ ntU2³= miVi^:+m:V2²

Dla przemieszczenia związanego zobrotem:

P

lim

x—*0

fon

dt

a

Hm

61 ->0

N - Sr

6l

N • co

Równanie mchu wahadła mat oraz równanie przybliżone dla uiatych wychyleń ztwwrzymy w oparciu o zas zadt energii mech:

/    2    )    '“^■siay

\ml y + mglsinyj -y m 0    1

dla małych wychyleń wahadła:

1 2 2

E , ■ — ml • g + mgl (1 - cos'

cal 2

dla y «1:

E

cal

1

2

, ^{2 2} mi • g +

Wektor nieskończenie małego obrotu i wektor przemieszczeniu związanego

Wckt uiesk mai obr możemy zdefiniować jako obrół o nieskończenie mały kąt 6y w czasie St-d>

Kicmiwk wektora 5y jest równoległy do osi obrotu, jego zwrot jesi zgodny z regułą śruby prawoskrętnej,

a wartość jest równa kątowi Ouiuiu óy

Przemieszczenie związane z obrotem fry: 8,* by i r | 6rl • r sin (o) by

wektor wodzący jest to „promień" po którym porusza się cząstka

Warstość prędkości przedstawiamy jako wartość wektora

mi(in-Vi) = ni2(V2-ui) m^u^-Yi²) = rri2< Vi²-u i¹)

V(t) ■ gdzie Vx =

(V(t)>

dx/dt

7

Vx² + Vy² + V;

Wykażmy, że wektor d e"*.«) i dt ma berurtk normalny i jeśli go pomnożymy przez V₍₁₎ jest p<^.yi(acłzenieni normalnym

V« -= a^.

dt

zauważmy że wersores(t) jest wektorem jednostkowym jes'*| - 1 a żalem jego poctodna drogi względem czasu wyraża tylko zmianę jego kierunku a n e wartości, de^.ro    d

«*•«■ -^ml* — (e'^<.a>-e"^ł,₍₀) = o

dt    dt

jeżeli iloczyn skalamy wektorów znika (równa się O ) tzn że wektory te są prostopadle.

Równanie ruchu klocka w oparciu o zas zach ^! en mech.:    J

dE/dt«0->(mx+kx)*x»0«>x--k/m • x    !

ui + Vi = V: + ii2 => V2~ui+Vi-U2 rniui+ ni:U2 = miVi + m;(iir*-Vi-u:)

nn-nu    2m?

Vi------m i-----u-

rnr-m:    nn+m:

2 llłl    1112-1)11

V:---------III t- —■ u:

mi+nu    mi+mj

/der/eiiia sprężyste j. parametrem.

mi V iri;V    imk':"

2 2 2 X mI-• m:V;COS<<.- *- n:,ViCOS''

Y m-V- m.'V.'sim*: - imYisnzii

Aby układ był rozwiązywalny trzeba podać jedną

niewiadomątnp. «i, aj)

Adei /cliła nlcsju fjwir.

Nic woli*) stosować zasady z:x:li energii

niiVi i mrVr - (nu m.-)V

iDiVi + m:V:

mi + nu

Zasada zach p_vdu <fla ukl N cząsteczek:

N

V¹ .. zewu

F    no

; i —l

^ P “ const Zasady dynamiki Newtona I zasada dynaniki

Jtóh na ciało nie działa żadna siła lub

^ <"***

lub porusza się ruchem jednost prostoliniowym

(gdy było w ruchu)

I- zasada bezwładności lF-0 ->V=const BEZWŁADNOŚĆ (INERCJA):    wła

polegająca na tym, żb dało zachowuje swói spoczynku albo mchu jedrawtajiego po prostej gdy nie działają na niego inne ciała SŁA wielkość fizyczna wektorowa będąca r oddziaływań prowadzących do zmiany predl lub kształtu ciała. Silą może oddziaływać na <

ł'rawo    liooka.

ÓU    1    I’    S- pole pr/ekr popr/etz.

.......    I'- siły

L    Y    S    L- długość

ÓL. ó;_.    z>L    ^-signum

— ■ — ~'¹'— - współczynnik puasoua Lr    L.:    L

Riirb harmoniczny prosty. d^Jx

F -kx a

dl

F* m a d\

(I) nu — - -- -kx di

mccii rozwiązaniem lego rówreiuia będzie

(2) \ AsnK"'i i ip)

il\

... • 'V->cos(">[ • ip)

dt

\wclr\lcmc!

A ariiplitudit mas