img026 (44)

30

#14	~h\'	W]4	J
#22	= /21	■ #12	+	Ui
^a32	^= Ai	■#12	+	Ui
#42	^= Ai	• W12	+	Ui
^a21	= Ai	■ #,3	+	Ul

skąd w₁₄ =

h\

skąd I22 ~ ^22    ^

*21 "12 >

skąd /₃₂ - 032 - Al ■ W12 5 skąd Ią2 ⁼ #42 ~ Ią\ ■ #12 5

(2.46)

#24	= Al	‘ #14	+	Ui	•#24	’
#33	- hi ‘	■ #13	+	Ui ■	’ ^w23	^+ Ui >
#43	^= h\	' ^w13	+	Ui	'^M23	+ ^43>
#34	= Ar	•#14	+	Ui	• #24	^+ Ul '	' “34 >
#44	= /4I	•#14	+	Ui	• #24	+ /43	■ W34 + /44
/44 ^:	tj- -i- 11	/41 •		#14	~Ul	• #24	- Ul ‘ ^w34

skąd w 23 =

skąd w₂4 ⁼

skąd /₃₃ = 1 skąd /₄₃ = 1

skąd

skąd

^a23 ~ l

21 ' "13

'22

^a24 ^_Al ’^w14

34

Ul
-Ar	■ ^w13	~Ui	' ^U21 >
-Ai	• #,3	~Ui	’^1121 >
#34 -	•Ar	#14 -	U2 " ^m24
Ui

Należy tu zwrócić uwagę na to, że dla obliczenia elementu tablicy Q, będącego elementem macierzy/, lub U, konieczna jest jedynie znajomość elementu macierzy ,4 znajdującego się na tej samej pozycji oraz niektórych elementów tablicy Q uprzednio już obliczonych. Obliczony element jest zapisywany w tablicy Q. Może on być również zapisany w odpowiednim miejscu w macierzy A, jeżeli macierz A nie musi być zachowana po dokonaniu jej rozkładu na czynniki L i U.

Uogólniając wzory podane w (2.46), otrzymuje się opis algorytmu Crouta rozkładu na czynniki L i 17 dla dowolnej nieosobliwej macierzy kwadratowej A.

Algorytm Crouta (bez uzupełniającego przestawiania wierszy i kolumn)

Dana jest macierz nieosobliwa A o wymiarach n x n. Początkową postacią tablicy Q o wymiarach « x n jest Q = 0.

Krok 1

Wpisywane są wartości elementów pierwszej kolumny tablicy Q

qn=^an dla i = 1,2,    (2.47)

Krok 2

Uzupełniany jest pierwszy wiersz tablicy Q według wzoru

7i / =a\j/q\\ dla y = 2,3,■■•,«.    (2.48)

Krok 3

Podstawiana jest za j liczba 2.

Krok 4

Uzupełniane są wyrazy y-tej kolumny tablicy Q według wzoru