img298

Obecnie wszystkie zmienne niebazowe mają dodatnie kryterium simpleks, a więc wartości funkcji celu nie da się już zmniejszyć.

Pozostawiając Czytelnikowi obliczenie elementów tablic pośrednich, poniżej (posługując się rachunkiem macierzowym) obliczono poszczególne elementy tablicy końcowej¹.

yi y2

~y i"	, więc B =	2 3	, B^1 =i	'3 -3"
Jl.		1 3	3	-1 2_

elementy kolumn zmiennych sztucznych

B^b =

	1	-1	h 3	1,5~|		i
““	1	2	1 3	0		0
	L 3	3 J
	" 1	-f	[301		'10'
^=	1	2	20	—	10
	. 3	3 J			L3

wartości zmiennych bazowych (rozwiązanie),

J elementy kolumn j zmiennych decyzyjnych y₂, y₂, y₃,

'1000" _2400_	, więc clB~^1 = [1000 2400]	' 1 -1‘ 1 2	= [200 600] -
		_~7 7.

elementy wiersza z_i dla kolumn

Ji i s₂,

elementy wiersza Zj dla kolumn

clB~^lb = [1000 2400]

10000 + 8000 = 18 000 <— wartość funkcji celu.

Optymalne rozwiązanie programu dualnego jest zatem następujące:

y\ = 10,    y\=y,    F[y\,y*i)= 18000.

Zauważmy jeszcze, że z ostatniej tablicy simpleksowej można odczytać także rozwiązanie optymalne programu dualnego. Mianowicie, optymalne wartości zmiennych decyzyjnych PD są równe wartościom bezwzględnym liczb występujących w wierszu zerowym (c_y ~zj) ostatniej tablicy simpleksowej, odpowiadających zmiennym swobodnym PP (por. tabl. 42): j>j=|— 10| = 10,

10

T’

>>3 = 0. Analogicznie, wartości zmiennych decyzyjnych PP są

równe wartościom bezwzględnym liczb występujących w wierszu zerowym ostatniej tablicy simpleksowej PD, odpowiadających zmiennym swobodnym lego programu (por. tabl. 46:    = |200| = 200, X2 = |600| = 600).

Pytania i problemy

1. Dany jest program liniowy:

x₁+ x₂+jc₃ = 30, x₁ + 2x₂ + x₃'^10,

2x₂ + x₃ ^ 20,

*i, x₂, *₃>0,

2x₃ +x₂ + 3x₃-t max.

Sprowadzić powyższy program do postaci kanonicznej.

2. W powyższym PL wektor optymalnych zmiennych bazowych jest następujący:

x'

x₃ .

*4

Podać rozwiązanie optymalne i wartość funkcji celu dla rozwiązania optymalnego.

3.    Co to jest „wiersz zerowy” tablicy simpleksowej?

4.    Omówić sposób zmiany bazy w kolejnych iteracjach algorytmu simpleks.

5.    Który z poniższych wektorów (gdzie x_lt x₂ i x₃ to zmienne dcyzyjne, x_Ą i x₅ to zmienne swobodne, a i s₂ to zmienne sztuczne) nie jest wektorem optymalnym i dlaczego?

1.5. Analiza wrażliwości

Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy problemu. Podejmujący decyzje powinien także wiedzieć, jak wrażliwe jest uzyskane rozwiązanie optymalne na pewne zmiany w założeniach modelu lub zmiany czynników zewnętrznych (parametrów modelu). Odpowiedź na te pytania ułatwia analiza wrażliwości (ang. sensitivity analysis) rozwiązania optymalnego na zmiany niektórych parametrów modelu, a więc na przykład: a) współczynników funkcji celu (OFC - objective function coefficients), najczęściej cen - analiza wrażliwości pozwala w tym przypadku odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie pozostało optymalne;

clB~¹A = [1000 2400]

1 0 0 1

1,5

-0,5

= [1000 2400 300]

>+ y 2 i y₃>

53

1

Zauważmy, że ponieważ s₂ = —y_Ą, a s₂ = —y_}, współczynniki kolumn zmiennych swobodnych są wziętymi ze znakiem przeciwnym współczynikami kolumn odpowiadających im zmiennych sztucznych.