Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

1. Warunek konieczny istnienia ekstremum (WKIE).

Jeżeli funkcja f ma w punkcie
ekstremum lokalne oraz ma w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, to
.

2. Warunek dostateczny istnienia ekstremum (WDIE).

Jeżeli funkcja f jest klasy C² w pewnym otoczeniu punktu
oraz spełnione są warunki:

(1)

(2)

(3)

to f ma w punkcie
ekstremum lokalne, przy czym

jeżeli
>0, to jest to minimum lokalne,

jeżeli
<0, to jest to maksimum lokalne.

Poniżej pokażemy na kilku przykładach, w jaki sposób należy poszukiwać ekstremów lokalnych pewnych funkcji, przy czym w rachunkach pomoże nam kalkulator ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Zbadać ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem

Liczymy kolejno pochodne cząstkowe funkcji f rzędu pierwszego:

W celu znalezienia punktów „podejrzanych o ekstremum”, zwanych punktami stacjonarnymi, musimy rozwiązać układ równań (1) i (2):

Wobec tego, jedynym punktem stacjonarnym jest
.

Liczymy pochodne cząstkowe funkcji f rzędu drugiego:

Tak więc, w punkcie P wyznacznik W jest równy -1:

Ponieważ nie jest spełniony warunek WDIE(3), w punkcie P nie ma ekstremum.

Przykład 2. Zbadać ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem

Liczymy kolejno pochodne cząstkowe funkcji f rzędu pierwszego:

W celu znalezienia punktów stacjonarnych musimy rozwiązać układ równań (1) i (2):

Prawdę mówiąc, jest to najtrudniejsza część zadania, choć w tym przypadku po odjęciu równań stronami, otrzymujemy
, czyli
, a więc
.

Jeżeli
, to
, czyli pierwszy punkt stacjonarny ma współrzędne
.

Jeżeli
, to
,

tak więc drugi punkt stacjonarny ma współrzędne
, zaś trzeci
.

Liczymy pochodne cząstkowe funkcji f rzędu drugiego:

Tak więc macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego jest równa:

Wstawiamy współrzędne znalezionych punktów stacjonarnych.

Dla
mamy

oraz

wobec tego w punkcie tym funkcja f ma maksimum lokalne oraz

Dla
mamy

Ponieważ nie jest spełniony warunek WDIE(3), w punkcie P₂ nie ma ekstremum.

Dla
mamy

Ponieważ nie jest spełniony warunek WDIE(3), w punkcie P₃ nie ma ekstremum.