1. OPOERACJE RÓŻNICZKOWE NA WEKTORACH I SKALARACH

Wektor we współrzędnych kartezjańskich:

Iloczyn skalarny

Iloczyn wektorowy

Operator Nabla

operator Nabla jest wektorem

Gradient skalara - określa kierunek największej zmiany funkcji

Dywergencja wektora

Rotacja wektora

Laplasjan Δ skalara

Dywergencja gradientu =LAPLASJAN Δ WEKTORA

2. Wzory analizy wektorowej

3. Twierdzenie Gausa - strumień wektora indukcji elektrycznej przenikający powierzchnie zamkniętą jest równy sumie ładunków znajdujących się w obszarze ograniczonym tą powierzchnią .

4. Twierdzenie Stokesa - całka liniowa wektora pola wzdłuż krzywej zamkniętej równa się strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnie której brzegiem jest wspomniana krzywa.

5. Podstawowe równania pola elektromagnetycznego - równania Maxwella

6. I-sze równanie Maxwella w postaci różniczkowej

- natężenie pola magnetycznego

Jc - gęstość prądu całkowitego

- gęstość prądu indukowanego przez zmienne pole elektryczne E

- gęstość prądu przesunięcia dielektryka

-gęstość prądu doprowadzonego (obecnego) z zewnątrz np. wynik nierównomiernej koncentracji ładunków powodujących prądy dyfuzyjne lub prądy płynące pod wpływem sił teroelektrycznych lub innych ogniw wytwarzających natężenie Eo

- gęstość prądu konwekcyjnego ładunkowi o gęstości p z prędkością Vp

- gęstość prądu indukowanego w przewodnikach poruszających się z
w polu B

- gęstośc prądu wynikająca z ruchu spolaryzowanego dielektryka w polach gdzie nie ma ruchu swobodnego rachunków Vp=0 a nie zachodzi przesuwanie się przewodników w polu magnetycznym lub tez dielektryków w polu magnetycznym ostatnie trzy składniki równania można pominąć. Wówczas:

Bardzo często oznacza się gęstość prądów płynących pod wpływem zmiennego pola elektrycznego E oraz prądów zewnętrznych jako

Wówczas I -sze równanie Maxwella postaci różniczkowej ma postać

V - gradient V ze skalaru robi wektor.

·
- dywergencja z pola wektorowego robi skalar.

x
- operator rotacji z pola

wektorowego robi inne pole wektorowe .

x
= 0 - pole potencjalne, istnieje taki potencjał który A = -- V (pole elektryczne)

· = 0 ( pole solenoidalne lub bez źródła)

A =
x
- potencjał wektorowy magnetyczny

·
=

x
=

7. Laplace'a

8. Gradient - pole (wektorowe) sklarne

Rozproszenie pola posiada źródła rozproszenia. Miara rozproszenia to dywergencja.

określenie wirowości

- rotacja jako wwirowość

9. Polem elektrostatycznym nazywamy pole stałe w czasie wytworzone przez nieruchome, stałe ładunki (elektron)

Wektor natężenia pola elektrycznego E[V/m]

Wektor indukcji elektrycznej D[C/m²]

Wektor polaryzacji elektrycznej P[C/m²]

Przenikalność elektryczna ε [F/m]

Podatność elektryczna K

Wielkości skalarne

Potencjał elektryczny V[V]

Napięcie elektryczne U[V]

Równanie
*
-gęstość objętościowa ładunku

- spełnione w dowolnym obszarze objętościowym

Dwa prawa elektrostatyki:

10. Prawo Kulomba - z jaką siłą oddziaływają na siebie dwa ładunki elektryczne Q1 i q odległe o odległość r.

-wersor w układzie współrzędnych kulistych

Jeżeli mamy kilka ładunków to siła działająca jest sumą sił wektorowych F=F1+F2+…Fn - wektory

Stosunek siły F do wartości ładunku próbnego jest równy natężeniu pola elektrycznego

Potencjał i napięcie pola elektrycznego

Punkt odniesienia do liczenia potencjału i potencjał w tym punkcie=0 to

Napięcie pola elektrycznego

11. Tw. Gausa

Całka powierzchniowa wektora opisującego dane pole nazwa się strumieniem tego wektora

11. Tw. Gausa

Strumień elektryczny wychodzący na zewnątrz powierzchni zamkniętej jest równy algebraicznej wszystkich ładunków znajdujących się w obszarze objętym daną powierzchnią.

Jeśli całka powierzchniowa po powierzchni zamkniętej nie jest równa zero to jest to pole źródłowe.

12. Przykładowe rozkłady pól

Pole ładunku punktowego

Strumień elektryczny (całka pow. tego wektora)

13. Napięcie miedzy punktami A i B to:

Napięcie zależy od promieni

14. Pole dipola elektrycznego:

Dipolem elektrycznym nazywamy układ ładunków punktowych przeciwnego znaku znajdujących się w odległości l od siebie.

- moment dipola

15. Pole ładunku liniowego

Ładunkiem liniowym nazywamy ładunek rozmieszczony wzdłuż linii, rozkład ładunku liniowego charakteryzuje gęstość liniowa
i przypadająca na jednostkę linii

16. Pole elektryczne na granicy dwóch ośrodków

i
- wektory normalne indukcji

17. Warunek graniczny dla składowej stycznej natężenia pola

- składowe styczne na granicy

RÓWNANIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO - RÓNANIA MAXWELLA

18. I równanie

gdzie:

- operator Nabla

- natężenie pola mag.

- gęstość prądu całkowitego

Rotacja tego pola w tym punkcie równa jest gęstości prądu całkowitego Jc

19. II równanie

zmiana
powoduje rotacje

III równanie

- źródłowość pola B

- źródłowość pola D

jeżeli w danym obiekcie zawierające ładunki, wykonując wycięcie to całka po powierzchni równa jest wartości ładunku.

20. Pole magnetyczne - jest polem bezźródłowym (wirowym), ponieważ dywergencja jego wektorów jest równa 0 (
- wektory).

21. Pole elektryczne - jest polem źródłowym, ponieważ dywergencja jego wektorów

(
- wektory)

22. Równania Konstytutywne

- elektryczne

- magnetyczne

23. Potencjały elektrodynamiczne

1.Potencjały
,

- magnetyczny potencjał wektorowy

- elektryczny potencjał skalarny

, gdzie:

x - punkt w 3D

t - czas

Potencjały te wprowadza się w celu wyznaczenia rozkładów natężeń pola elektrycznego E i magnetycznego H niezależnie od siebie.

Zasadę ciągłości pola magnetycznego B można wyrazić:

, jeżeli pole jest bezźródłowe to wektor pola jest rotacją .

Uwzględniając tożsamość
zakłada się, że

Z II równania Maxwella

z równania wynika, że

Tak więc wyrażenia w nawiasie jest gradientem funkcji skalarnej V(x,t), zwanej skalarnym potencjałem elektrodynamicznym.

Jeżeli rotacja jakiegoś wektora jest równa 0, to wektor ten jest źródłowym (ma swoje źródła) i można go wyrazić jako gradient funkcji skalarnej.

gdzie:

- pole elektryczne indukowane prądami

- pole elektryczne wytworzone ładunkami

Pole elektryczne wokół urządzeń elektroenergetycznych wywołane jest istnieniem niezrównoważonych ładunków elektrycznych i od zmiennych w czasie gęstości.

Rownanie różniczkowe cząstkowe dotyczące potencjału
zgodnie z I prawem Maxwella
.

Jeśli pole obce o indukcyjności B i pole obce o natężeniu E nie przesuwają się, czyli V_B=0 oraz V_E=0, to w przypadku pól spełniających tzw. Równanie konstytutywne:

otrzymuje się :

Uwzględnia się przy tym, że pola są liniowe i spełniając gęstość I wirowych

Założenie
,

otrzymuje się:

gdzie:

V=
jest prędkością fali elektromagnetycznej w środowisku o parametrach
,
.

Uwzględniając że:

i stosując tzw.

24. Skalowanie Lorenza

otrzymuje się równanie falowe względem
(x,t), zwane też 25. równaniem d'Alamberta

-

można wyliczyć:

26. Równanie różniczkowe cząstkowe dotyczące potencjału V(x,t)

oraz

a także

oraz

i

Z prawa Gaussa

Zakładając środowisko liniowe o parametrach
,
=const z powyższego równania wynika że:

z warunku Lorenza

zapis symboliczny

Potencjał skalarny V()

Potencjał wektorowy A()

c - prędkość światła w ośrodku o przenikalności elektrycznej є

Y - punkt o współrzędnych (X_y, Y_y, Z_y) względem których całkuje się po V i pow. S

n(Y) - wektor normalny do pow. S w punkcie Yє S

J(Y,t') - wektor gęstości I przewodzenia dielektryka

P(Y,t')- wektor polaryzacji w punkcie X w chwili t

M(Y,t') - wektor natężenia magnetycznego

27. Fala elektromagnetyczna EM

Równ. dot. elektrycznego E i mag. H są równe falowymi

Równanie falowe w zapisy symbolicznej

T- poszczególne składowe potencjału wektorowego A(x,t)

gdzie
potencjału skalarnego V(x,t) gdzie

Potencjały elektrody wektorowy A() i skarlany V() są nazywane potencjałami opóźnionymi. Jeżeli chcemy je wyznaczyć w chwili t, w punkcie x to należy rozpatrzyć stan źródeł (gęstości ładunku i wektorów polaryzacji) w chwili t' wcześniejszej o przedział czasu (xy/V potrzebny na połowie drogi r_xy źródła (punkt Y) do punktu X.

Pamiętając, że potencjały zależą od punktu X oraz czasu t przy założeniu, że mamy do czynienia z dielektrykiem którego r=0 otrzymuje się rów. Falowe.

W dielektryku dla ośrodków nieogranicznonych w próżni potencjały elektrodynamiczne mają postać:

Gdzie t = t -r_xy/c - to fala rozchodzi się z dużą prędkością

J(Y,t') wektor gęstości prądu całkowitego rozp. dielektryka

Są to tzw. Potencjały opóźnione (Lorenz). Uwzględniają one, że pole elektromagnetyczne rozprzestrzenia się w próżni z prędkością światła równą V światła.

Założymy, że potencjały i nat. pól zależą od punktu X oraz czasu t, można, przy zapisie równań falowych pominąć oznaczenia zależności od czasu i przestrzeni. Tak więc przy braku obcych źródeł I oraz gęstości ładunku poruszających się równanie dla nat. pl można zapisać:

gdzie
w próżni

c - prędkość światła

28. Ruch falowy - to taki, w którym zabrania się stanu fizycznego środowiska opisanego funkcją f(z,t) przemieszczania się w przestrzeni ze stałą prędkością. Ogolenie równanie falowe można przedstawić w postaci:

W przypadku, gdy funkcja f przemieszczania się wzdłuż 1 osi układu współrzędnych , np. z osi z `w kierunku +' wówczas rozw. równania falowego (*) jest funkcja której argument jest w<sub>1</sub> = z -υt. W przypadku gdy f przemieszcza się w kierunku `-` osi z, wówczas argument w₂ = z +υt spełnia równanie fali powrotnej.

Równanie falowe jest liniowe, wiec rozwiązaniem ogólnym tego równania jest kombinacja liniowa funkcji y(w₁), h(w₂) których argumenty są w₁ = z - υt ; w₂ = z + υt.

29. Fale rozchodzące się prostopadle do wychylenia fali nazywają się poprzecznymi. Fale roz. się w kierunku równym do kierunku drgań są falami poprzecznymi.

30. Fale dźwiękowe są przeważnie falami podłożonymi a fale EM są poprzecznymi. Fale poprzeczne mogą być spolaryzowane tzw. Drgania ośrodka odbywają się w jednej płaszczyźnie (h do kierunku rozchodzenia się fali).

Dwa kierunki polaryzacji:

Zgodne z osią x:

- polaryzacja pionowa

Zgodne z osią y:

- polaryzacja pozioma

Wektor polaryzacji n definiuje półpłaszczyznę drgań. Z poprzeczności fal wynika, że

Kąt polaryzacji Ө czyli kąt między osią x a wektorem polaryzacji n definiuje wyrażenie

Warunki między środowiskowe przy przejściu fali przez odmienne środowiska.

E_t1 =E_t2 - ciągłość składowej stycznej natężenia pola na granicy

E_r1 - E_r2 = δ - Składowa zmienna składowej normalnej wektora indukcji elektrycznej o wartości δ (gęstość powierzchni ładunku elektrycznego).

H_t1 =H_t2 - ciągłość składowej stycznej natężenia pola magnetycznego

B_n1 =B_n2 - ciągłość składowej normalnej indukcji magnetycznej

31. Fale elektromagnetyczne płaskie EM

32. Polaryzacja fali określa linia która wyznacza koniec wektora H lub E, jeśli końce tych wektorów zataczają kręgi to fala jest spolaryzowana kołowo, gdy zataczają elipsy to spolaryzowana eliptycznie. Gdy wektory poruszają się po odcinkach ruchem oscylacyjnym to polaryzacja jest liniowa.

Jeśli HωIE leżą w płaszczyźnie do kierunku rozchodzenia się fali to mamy falę płaską. W przypadku przesuwania się fali płaskiej w kierunku osi z, wektory HωIE drgają w kierunku x osi y.

33. Fale płaskie sinusoidalne funkcja falowa f

λ - długość fali,

A - amplituda,

V = prędkość

Uwzględniając, że f_f jest częstotliwością fali, czyli odwrotnością to kierunek otrzymuje się z zależności

Ponieważ prędkość takową wyraża się w radianach na sek, można przedstawić to jako:

ω=2πf_f =kv

wiec: f(z,t)=Acos[(Kz-ωt)+δ]

34. Wzór Eulera
równania fali sinusoidalne f(z,t)=Rx{Ae^j}gdzie δ jest przesunięciem fazowym a K jest liczbą fazową Kz-ωf+δ

K = 2π/λ

Fala plaska TEM- „Tran-suerse Electromagnetic”

Fala plaska opisująca pole wektorowe przesuwa się w kierunku osi „z”

Zal. że
wówczas rów. Falowe

; gdzie A_x=f_x(z)

V-prędkość rozchodzenia się fali

Rozwiązanie ogólne

z warunku f₁=const wynika z-vt=const i z+vt=const

funkcja f: f₁-fala w przewodniku f₂-fala odbita

Biorąc pod uwagę, że

Ponieważ

czyli

czyli

Przemiany energii w polu Elektromagnetycznym

Tw. Poyntinga

35. Powierzchnia ekwiamplitudowa- zbiór punktów w których których dznej chwili Amplitudy
lub
są takie same.

36. Powierzchnia ekwifazowa- zbiór punktów w których fazy wektorów
są takie same. Każda z tych powierzchni może przyjąć postać płaszczyzny prostopadlej do kier. rozchodzenia się fali.

Jeśli rodzina płaszczyzn ekwifaz. i ekwiampl. się pokrywa to mamy jednorodną falę plaską najprostszą do analizy.

Każde rozw równań Maxwella spelnia równanie takie, lecz nie każde rozwiązanie równania falowego spelnia rów. Maxwella.

Rów płaszczyzny stalej fazy można przedstawić w postaci parametrycznej:

powierzchnia ekwifazowa porusza się z prędkością „v” fali.

(pow. Ekwifaz. porusza się w kier.fali)
(pow. Ekwifaz. porusza się przeciwnie w kier.fali)

Zaklada się że wektorowe równanie Helmohltsa (rów. falowe)

ma postać

Można założyć, że fala plaska rozchodzi się jedynie w kier.+E

Czyli

pow. fali plaskiej wyprowadzenie

Jeśli
jest rozwiązaniem równania falowego to

gdzie zmienne

z powyższego wynikają 3 rów skalarne.

pochodna po czasie z funkcji wyraża się wzorem:

Wówczas z równania
otrzymujemy

gdzie x₁=x; x₂=y; x₃₌z

powyższe równania można zapisać jako

druga pochodna względem arg.

zmiana bezwgl. Na przenikalność średnią

v-prędkość fazowa

Można zauważyć że:

F'-pierwsza pochodna względem argumentu

Z powyższego otrzymuje się po scałkowaniu

Pole plaskie nie ma składowej
w kier. rozchodzenia się fali (fala poprzeczna)

Z równania Maxwella można po wyznaczeniu wektora
fali plaskiej dobrać wektor
. W tym celu należy rozpatrzyć równanie:

Zak.. że

Po obliczeniu
gdzie

-zmienna (arg. Funkcji
) czyli:
stąd po scałkowaniu
czyli

czyli wektory
.

Jeśli trójka wektorów
tworzy układ prawoskrętny to fala jest typu TEM. Stosunek składowych prostopadłych do kier. rozchodzenia się fali nazywa się impedancją falową.

- ważna własność środowiska

37. Tw. Poyntinga

Przemiany energii fali elektromagnetycznej E-M na ciepło odbywa się zgodnie z prawem Joule'a. Zgodnie z zasadą zachowania energii suma wszystkich rodzajów energii (PEM, cieplna, kinetyczna) w ukl. odosobnionym ma stalą wartość. Układy odosobnione (brak wymiany energii z otoczeniem) nie istnieją.

Biorąc pod uwagę fragment przestrzeni o objętości V i otoczony powierzchnią S, zasadę zachowania energii można przedstawić:

Jeżeli w chwili t1 energia w objętość objętość wynosi W₁, to w chwili
suma wszystkich rodzajów energii wynosi
, gdzie delta W jest energią, która przepłynęła przez pow. S otaczającą objętość czasie
.

Związki ilościowe:

Z I-szego równania Maxwella

Gdzie V jest prędkością ruchu ładunku wynika, że

Stosując prawo Joule'a moc oddaną lub pobraną przez obj V można obliczyć z wyrażenia

;
;
;

Z tożsamości wektorowej
wynika że

Ze wzoru na pochodną funkcji wynika że:

Uwzględniając liniowość i izotopowość mag. Ośrodka w objętości V czyli

otrzymujemy

Wobec powyższego

Uwzględniając liniowość i izotopowość elektr. Ośrodka w objętości V czyli
; otrzymuje się:

Z zależności na moc cieplną wydzieloną w objętości V otrzymujemy:

Uwzględniając twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego można pierwszy składnik powyższego wyrażenia zapisać jako:

Wówczas pierwszy składnik wyrażenia ma straty mocy P. Po wprowadzeniu oznaczenia
można zapisać jako:

Składnik ten przedstawia energię przepływającą przez zamknięta pow. S Wektor
jest nazywany wektorem Poyntinga.

Jego moduł można obliczyc s=E*Hsinα gdzie α-jest kątem między wektorami

i
. Uwzględniając jednostki E[V/m] i H[A/m] to wektor Poyntinga s[W/m²]

Wektor ten wyraża gęstość energii przez pow. która przepływa fala elektromagnetyczna

E-M.

Drugi składnik wyrażenia ma straty mocy P określa całkowita energię zawarta w polu mag.

i elektr. o gęstości objętościowej W_m oraz W_e.

Zmiana tej energii (ωt) w objęt. V przedstawia moc przetworzona w tej objętości na ciepło.

P_me =

Ostatni (3) składnik w wyrażeniu na P cieplną wydzieloną w objęt. V jest równy przyrostowi

Energii kinetycznej swobodnych ład. o gęstości objętościowej p

W ośrodkach w których nie ma przepływu ład. swob. z prawa zachowania energii

38. Wektor Poyntinga w C

Zał. że C jest zaś U~ w niskiej f. Na początek wyprowadzenie zależności na moc dopływającą do C bez wył. wektora Poyntinga.

Gęstość energii w polu elektrostatycznym

(jednorodne liniowe…)

stąd energia pola elektrostatycznego zgromadzona

w objętości miądzy okładkami C.

Strumień mocy dopływającej do C jest pochodna energii po czasie

Identyczny wynik otrzymuje się stos. wektor Poyntinga wchodząc z I rów. Maxwella w postaci całkowej:

mamy:

Podst. pow. do wzoru na wektor Poyntinga otrzymamy (wek.
są prostop. do siebie)

a wektor
jest…

wartości zespolone składowych w których sin. zmiennego w czasie

wartości chwilowe :

Wartość chwilowa wektora zespolonego

-wektor zespolony

Równania Maxwella

I

II

I

II

Wektor Poyntinga w polu harmonicznym

Pole harm. Można zapisać w postaci zespolonej

Część urojona powyższego

Zgodnie z tw. Pointinga gęstośc powierzchniowa mocy ma postać:

Wykorzystano zależność trygonometryczną

Wartość średnia za okres

Dla urojonych E i H

Zauważmy

wektor pointinga w polu harmonicznym w postaci zespolonej

40. Zespolony wektor Poyntinga znajduje zast. przy modelowniu obwodowym ukł. Polowego.

Otóż strumień wektorów S, wnikając do obiektuw którym płynie prąd Wymuszony nap. U jest = mocy pozornej dostarczonej do obiektu.

Gdzie,

41. Przemiany energii pola harmonicznego:

Jeśli pole E oraz H zmieniają się sinusoidalnie (pola harmoniczne ) to wygodnie jest posługiwać się zespolonym wektorem Poytinga.

Z 1 prawa MAXWELLA

Gdzie wektory podkreślone oznaczają wartości sprzężone.

Z 2 równania MAXWELLA w postaci zespolonej

Po pomnożeniu 1 równania przez -
oraz 2 równania przez
i dodaniu stronami:

Uwzględniając twierdzenia GAUSSA -Ostrogradskiego

Straty wiroprądowe wywołane przez prądy w przewodach zastosowanie wektor Poytinga:

Założenie liniowości średnich .

Jk - prądy przemienne które wpływają w przewodach w ściance metalowych.

Załóżmy że układ jest liniowy przewody nieskończenie długie S1 - Sn

Z twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego

Uwzględniając że powierzchnia obejmująca V leży w obszarze nie przewodzącym

zał.

Tak więc równanie wektorowe można rozpisać:

W tym przypadku założenie środowiskowe nie przewodzące:

do

Gdzie:
jest natężeniem indukcyjnym dielektryków

- dlatego moc zespoloną można wyrazic:

-czyli moc zespolona zależy od pola indukcyjnego

Ponieważ
otrzymuje się

Moc jest liczbą urojona bo straty mocy nie przekraczają obszaru =0. gdy Sp
wówczas

-strumień przechodzący przez powierzchnie walcowa.

Moc w obszarze V poza przewodami .

Można wyróżnić strumień mocy przez:

- powierzchnia k-tego przewodu

- przez powierzchnie Sm „ powierzchnia metalowa

- oraz Sp - moc przez powierzchnie walcową o promieniu dążącym do ∞. moc ta zanika gdy Sp oddala się od nieskończoności.

Gdy

Straty wiroprądowe w ścianie metalowej p:

42. Straty wiroprądowe dla przewodnika z I

Strumień mocy wypływa z wnętrza przewodu:

dlatego też S_K=-

- prąd ind. w przewodzie

k=1…n

Z_k,i
I_i

Z_ek - impedancja zewnętrzna przewodu,

Z_k,i - impedancja wzajemna przewodu k, l

Gdzie E_i - sem ind. wzdłuż przewodu k przez prądu płynące we wszystkich przewodach, czyli

k=1….n

Jeżeli przyjmiemy, że R_ek=Re(Z_ek) R_ki=Re(Z_ki)

Re(Z_ke) - część rzeczywista imp. Własnej

w.T.

43. Prądy wirowe w płytce poprzecznej do pola magnetycznego.

Straty wiroprądowe w cienkiej płytce kołowej umieszczonej w poprzecznym, równomiernym polu magnetycznym obliczono przy pominięciu wpływu pola magnetycznego indukowanego (wytwarzanego przez I_wirowe) na pole zewnętrzne. Linie sił pola o indukcji magnetycznej
są prostopadłe do płytki o promieniu r₀.

Płytka ma małą grubość g, czyli pole nie zmienia się wzdłuż tej grubości, konduktywność płytki wynosi
.

Ponieważ zakłada się pole harmoniczne to chociaż nie zastosowano podkreśleń wszystkie wektory pola są zespolone. Obliczenia przeprowadza się w układzie współrzędnych biegunowych r,
. Ze względu na symetrię układu, gęstość prądu wirowego I
indukuje w płytce na składową zależną jedynie od promienia r (I
(r))

r_o- promień bieżący

r- promień płytki

Wyznaczanie gęstości I, I₀ sprawdza się do rozwiązania równania Poissona względem potencjału wektorowego wyrażonego przez związek:

W rozpatrywanym przypadku potencjał ma tylko jedna składową zależna od jednej zmiennej r we współrzędnych biegunowych.

Pomijając wyraz zawierający pochodną względem zmiennej
, równanie Poissona przedstawia się następująco:

bo

,

Rozw. Powyższego równania powinno spełniać warunek wagowy v=(r₀)=0

Powyższe równanie można zapisać jako:

Całkując stronami to równanie w granicach od 0 do r otrzymuje się:

- zależy tylko od r , a
- zależy od r i

Po scałkowaniu stronami w granicach od r do r₀ uzyskuje się:

Na brzegu płytki potencjał ma wartość 0, U(r₀)=0. Ponieważ gęstość I wyraża się:

>>>Prąd wirowy wytw przez pole magnetyczne

Po uwzględnieniu tego warunku:

Po obliczeniu pochodnej funkcji U(
) to:

Można stwierdzić, że przy przyjętych założeniach gęstość I jest proporcjonalna do promienia r

Gęstość mocy prądów wirowych wyraża się wzorem:

Straty wiro-prądowe otrzymuje się całkując to wyrażenie w obszarze płytki czyli:

Ponieważ
wiec:

Wzór dla płytek o małym promieniu kilka centymetrów przy f=50Hz

Dla płytki miedzianej o g=0.005m, r_o=0,05m umieszczonej w polu o indukcyjności B_o=1T

W większości przypadków wartości indukcji w obszarach para lub diamagnetyków są rzędu setnych części Tesli. Tak więc dla indukcyjności równej B₀ =0,055T wartość strat

Płytka przewodząca umieszczona w polu magnetycznym zmniejsza natężenie tego pola-ekranuje to pole i w płycie tej wyważają się straty P w postaci prądów wirowych.

//FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W //OSRODKU MATERIALNYM

44. Warunki międzyśrodowiskowe przy przejściu fali w odmienne środowisko. Fala radiowa doznaje odbić i ulega załamaniu (refrakcji) Zjawiska te wykorzystuje się w falowodach do prowadzenia fal. Znajomość równań, określone warunki międzyśrodowiskowe( na powierzchni granicznej podobszarów jednorodnych przez które przechodzi fala ) oraz warunki brzegowe

45. ZAŁOZENIA :

• Rozmiary liniowe powierzchni granicznej >>λ(SA dużo większe od długości lambdy)

• Najmniejszy promień krzywizny powierzchni granicznej >>d

• Miejsce padania fal jest znacznie oddalone od krzywizny przeszkody

Pole elektromagnetyczne na granicy środowisk

Załamanie międzyśrodowiskowe wektorów ind. Elek. D1 i D2 na granicy dwóch dielektryków ε1 ε2

Z prawa GAUSSA dla nieskończenie małego wycinka objętościowego 1V otoczonego powierzchnią 1S wynika że

Jeśli gęstość objęt. g ładunku zawartego miedzy powierzchnią
-wymiar objętości ΔV w kierunku kata do płaszczyzny rysunku

n - wektor normalny

Spełniony warunek

Brak ładunku powinien :

Zał .
to
tak więc

czyli

α₁ ;α_2- kat jaki tworzą linie indukcji elektrycznej z wektorem „n” normalnym do tej powierzchni. Wynika stąd ze składowa normalna indukcji elektrycznej jest ciągła w obu środowiskach
jeżeli na powierzchni swobodnej nie ma ładunków swobodnych

Przeciwnym razie jest skokowa zmiana składowej normalnej indukcji o wartość równa „ρ” gęstości .

Przy braku ładunku powierzchniowego całka liniowa z natężenia pola elektrycznego wzdłuż drogi zamkniętej (prostokąt) dłuższe boki
i leżą blisko po obu stronach powierzchni jest równe zero .

Tak więc
z czego wynika że

Uwzględniamy
mamy

E_t2=E_t1-skladowe styczne wektorów natężenia pola Uwzględniając

Otrzymujemy:

Warunki międzyśrodowiskowe przy przejściu pola elektrycznego przez odmienne środowisko

E₊₂=E₊₁—ciągłość składowej stycznej natężenia pola elektrycznego na granicy
-skokowa zmiana składowej normalnej wektora indukcji elektrycznej o wartość
(gęstość ład. elektrycznego)

46. Fale elektromagnetyczne w środowisku materialnym.

Warunki miedzy środ. przy przejściu wekt. B i H z bezźródłowości pola mag,( prawo Gaussa) dot. wycinka objętości
mamy:

co prowadzi do warunków ciągłości skł. normalnej ind. magnetycznej

z równań Maxwella uwzględniającego pow, prąd magnetyczny

M

Wzgl.

otrzymujemy

Ms- gęstość powierzchniowa

Z powyższego wynika :E_t1+ E_t2= -Ms

Dla składowych stycznych natężenia pola magnetycznego

>>> Js gęstość J pow.

Składowa normalna indukcji magnetycznej w obu środowiskach jest taka sama, jeżeli na pow. granicznej nie ma J_pow

Bral lad i J_pow całka liniowa z nat, pola elektrycznego wzdłuż prostokąta o bokach dłuższych
i leża blisko siebie po obu stronach pow, granicznej jest =0.

Wektor indukcji i natężenia magnetycznego przy braku J_pow spełnia warunek:

Ht₁=Ht₂>> ciągłość składowej stycznej natężenia pola magnetycznego

B_n2= B_n1>>ciągłośc składowej normalnej indukcji magnetycznej

Przy zał, braku lad, pow, o wartości gęstości δ oraz braku J_pow o gęstości J_s na pow, międzyśrodowiskowej skl, normalna wektora indukcji elektrycznej i magnetycznej sa sobie równe oraz równe są skl, styczne nat, pola elektrycznego i magnetycznego.

Załamania i odbicia fal ciąg dalszy:

47. Fale na granicy środowisk

War, międzyśrodowiskowe przy przejściu fali od dielektryku idealnego przewodziła

,

Z I równania Maxwella

przy wzgl., ze pole jest harmoniczne tzn., że

oraz

48. Równanie fali sin. monochromatycznej

Rozwiązanie można przedstawić

49. Współczynnik propagacji fali

Dla środowiska dielektrycznego wynosi

Dla fali płaskiej spolaryzowanej przesuwając w kierunku osi ”z” równanie

gdzie
-amplituda

zespolona (czyli wartość prędkości liniowej fali)

Stała propagacji, wielkość urojona

Rozwiązanie gdzie
można zapisać jako
,gdzie C1,C2 -stałe całkowania

Uwzględniając ze
- rozwiązać równanie fali

- nie zależy od czasu

Aby rozwiązanie było pełne należy pomnożyć

Wektor pola można rozdzielić na część rzeczywista i urojoną

postać czasową fali harmonicznej jako część urojona

Wykorzystują tożsamość trygonometryczną

oraz tożsamość

mamy

50. Określenie wektoru H od strony dielektryka - rozkład przestrzenno-czasowy

,A1-amplituda fali odbitej(powrotnej),

A2- amplituda fali padającej(pierwotnej)

otrzymuje się argument funkcji.

51. Równanie fali pierwotnej wielkości pola magnet.

52. Równanie dla fali padającej

53. Określenie wektorów E od strony dielektryków- rozkład przestrzenno czasowy

,w odniesieniu do fali harmonicznej- w przypadku braku prądów obcych (przesunięcia i przewodzenia)

Założenia dla średnich dielektryków
,
, Em-wektorowe natężenie pola elektr.

Fala płaska rozpr. W kierunku Z

Uwzględniając ze

,

natężenie pola elektr.

54. Warunki międzyśrodowiskowe przy przejściu fali od dielektr, do przewodnika. Fala w środowisku dielektryka ograniczona jednostronnie przez doskonały przewodnik.

Uwzględniając ze amplituda wektora natężenia pola magnet. H fali padającej i odbitej sa takie same
oraz ze na powierzchni międzyśrodowiskowej dielektryka - przewodnik moduły amplitud zespolonych są sobie równe.

Natężenie pola fali odbitej i padającej
,

Czyli
,
. W przypadku odbić fali wychodzącej z próżni i wchodzącej do innych ośrodków można na podstawie znajomości.

55. Fale w idealnym przewodniku (po przejściu fal od dielektryka).

56. Współczynnik propagacji fali

Stała fazowa
, współczynnik tłumienia
,

57. W postaci wykładniczej stała propagacji

Dla środowiska dobrze przewodzącego stała tłumienia i fazowa są sobie równe i wynoszą

58. Moduł współczynnika propagacji wynosi

Jeśli przewodność ->∞ to współczynnik tłumienia również

Występuje całkowite wytłumienie tak wnikające do tego przewodnika. Jeśli fala odbija się od dowolnego środowiska o impedancji falowej Z_f to natężenie pola elektr. i magnet. można wyrazić w zależności od natężenia fali padającej.

59. Zespolony współczynnik odbicia
,

x argument współczynnika M

Net. Pola magnetycznego fali padającej można wyrazić jako:

H₁(2,t)=H_1msin(β₂-ωt) = H_1m(t)e^jβ2

Gdzie H_1m(t) =H_1me^-jωt

H_1m(t) jest amplituda zespoloną zależną od czasu

uwzględniając powyższy rozkład przestrzenno czasowy fali odbitej wyraża się

W zapisie zespolonym

Dla z=0 warunek brzegowy dla fali padającej w zależności od odbitej zapisac

oraz

Powyższy zapis pozwala określić gdzie są strzałki a gdzie wezły fali stojacej powstałej z dodawania fali padającej i odbitej.

Uwzględniając

Można stwierdzić ze jeśli fala padająca i odbita są ze sobą w fazie to fala stojąca ma maksima. Oznaczając współrzędne tych punktow przez z₁ to można przyjać:

czyli

Ponieważ

to

60. Fale harm. Na granicy ośr.

Z warunków środowiskowych wynika ze fala częściowo przenika do drugiego środowiska a częściowo odbija się od powierzchni granicznej

Jeśli fala przechodzi ze środowiska 1 (o param N₁,ε₁,r₁) do środowiska 2 (o param N₂,ε₂,r₂) to ulega załamaniu i odbiciu zgodnie z imped. Falowa

Parametry fali odbitej oznaczono Z_a wnikającej 3

gdzie s ozn. Wartość powierzchniową

H₃,E₃ wektory w środ.

Imp. Falowej

Imp. Fal 2 śr

Param (nat. Pól elektr.i mag. W zależności od natężeń fali padającej )

Fali wchodzącej z prózno do rożnych osrodków

a) odbicie fali doskonałego przewodnika

imp.falowa idealnego dielektryka

Dla próżni
i wynosi z₀=120ПΩ

Dla przewodnika imp ta

Dla doskonałego przewodnika imp. = 0

Nat. Fali wnikającej i odbitej = sa

Wyznaczanie pola linii koncentrycznej met. Odwzorowań

Met. Ta można rozważać wiele zagadnień polegających na wyznaczeniu pola miedzu 2-ma pow. O zadanych potencjałach

-zagadnienie Dirichleta

Linie na płaszczyźnie zespolonej „
” przecinają się pod takim samym katem ja na płaszczyźnie ”w”

Punktowi
przyporządkowuje się wg.

Niech

R- dowolny stały promień 0<R<

Zał. R = r₂ =>

1. Jesli
=0 (czyli
) to u=0 odcinek
przekształca się w

i V₂=0 AB=A'B'

2. Jeśli
=2П czyli y=0 to u = -2П

Odcinek
przekształca się w

i v₂=0 AB= A”B”

3. Jeżeli r=r₁ to okrąg 0<
<2П przekształca się u= -γ

Otrzymujemy odcinek A'A”

4.Okrag r = r₂ to okrąg 0<
<2Пprzeksztalca się

U= -γ U₁=0 u₂=2П

Otrzymuje się odcinek B'A”

Rozw. równania
na płaszczyźnie

Z war. Brzegowych

Jest

61. Tak wiec wektor pola elekt.

---