zagadnienia, punkt 13, XIII Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, pochodna mocna


XIII Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, pochodna mocna. Macierz Jacobiego, jakobian, gradient. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza.

Definicja

Załóżmy, że X i Y są p-niami unormowanymi oraz 0x01 graphic
jest zbiorem otwartym. Ustalmy elementy 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Rozważmy zbiór otwarty w p-ni R jako 0x01 graphic
. Niech będzie dana funkcja 0x01 graphic
. Rozważmy funkcję 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Jeśli istnieje granica 0x01 graphic
to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h.

Definicja

Niech 0x01 graphic
będzie zbiorem otwartym i niech będą dane funkcje 0x01 graphic
. Kolejne współrzędne punktu p-ni Rk oznaczamy umownie przez 0x01 graphic
. Ustalmy 0x01 graphic
i niech 0x01 graphic
będzie wersorem i-tej osi. Pochodna kierunkowa 0x01 graphic
nazywa się pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p względem i-tej zmiennej. Oznaczamy ją przez 0x01 graphic
albo 0x01 graphic
.

Definicja

Niech X i Y będą p-niami metrycznymi. Niech 0x01 graphic
będzie zbiorem otwartym i niech będą dane 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Pochodną mocną funkcji f w punkcie p nazywamy operator liniowy 0x01 graphic
taki, że

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
. Oznaczmy 0x01 graphic
i mówimy, że f jest różniczkowalna ( w sensie mocnym) w punkcie p.

Definicja

Funkcja liniowa 0x01 graphic
jest reprezentowana przez wektor 0x01 graphic
taki, że 0x01 graphic
dla każdego 0x01 graphic
. Wektor ten nazywamy gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy przez gradf(p).

Twierdzenie

Niech f jest różniczkowalna w punkcie p (0x01 graphic
)

a). ma jedną pochodną w punkcie

b). istnieje pochodna cząstkowa 0x01 graphic
oraz zachodzi

0x01 graphic
.

Definicja

Jeżeli 0x01 graphic
jest pochodną mocną funkcji 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
to macierz odwzorowania w bazach kanonicznych p-ni 0x01 graphic
jest macierzą Jacobiego:

0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

0x01 graphic
nazywamy jakobianem.

Definicja

Niech X i Y będą p-niami unormowanymi. Niech będzie dany zbiór otwarty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Załóżmy, że pochodna 0x01 graphic
istnieje w każdym punkcie 0x01 graphic
. Odwzorowanie 0x01 graphic
jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
, to mówimy, że f jest różniczkowalna dwukrotnie.

Twierdzenie Schwarza

Załóżmy, że 0x01 graphic
jest zbiorem otwartym oraz 0x01 graphic
. Jeśli w zbiorze G istnieją pochodne cząstkowe 0x01 graphic
ciągłe w punkcie 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zagadnienia, punkt 7, VII Pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej - interpretacja fizycz
temat 13, ZiIP, inne kierunki, politechnika, sem III, ang
zagadnienia praktyczne 13
Zagadnienia na egzamin ze współczesnych kierunków pedagogicznych
wspolczesna zagadnienia, MOJE 13,14,15,16, Halina Poświatowska
zagadnienia, punkt 19, XIX Macierze, działania, rząd macierzy
zagadnienia, punkt 5, V Punkt skupienia zbioru
TB kolokwium I zagadnienia 12 13 pdf
zagadnienia wyklad 13, fizjoterapia, psychologia
zagadnienia, punkt 18, XVIII Przestrzenie liniowe
zagadnienia, punkt 2, II Przestrzenie metryczne zupełne
zagadnienia, punkt 6, VI Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych (tw
zagadnienia, punkt 22, XXII Działania wewnętrzne, działania przemienne, działania łączne, element ne
zagadnienia na obrone, do druku kierunkowe, 2981550897242 kod do zmywacza
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO NA KIERUNKU SOCJOLOGIA, SOCJOLOGIA

więcej podobnych podstron