XIII Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, pochodna mocna. Macierz Jacobiego, jakobian, gradient. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza.

Definicja

Załóżmy, że X i Y są p-niami unormowanymi oraz
jest zbiorem otwartym. Ustalmy elementy
oraz
. Rozważmy zbiór otwarty w p-ni R jako
. Niech będzie dana funkcja
. Rozważmy funkcję
dla
. Jeśli istnieje granica
to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h.

Definicja

Niech
będzie zbiorem otwartym i niech będą dane funkcje
. Kolejne współrzędne punktu p-ni R^k oznaczamy umownie przez
. Ustalmy
i niech
będzie wersorem i-tej osi. Pochodna kierunkowa
nazywa się pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p względem i-tej zmiennej. Oznaczamy ją przez
albo
.

Definicja

Niech X i Y będą p-niami metrycznymi. Niech
będzie zbiorem otwartym i niech będą dane
oraz
. Pochodną mocną funkcji f w punkcie p nazywamy operator liniowy
taki, że

gdzie
. Oznaczmy
i mówimy, że f jest różniczkowalna ( w sensie mocnym) w punkcie p.

Definicja

Funkcja liniowa
jest reprezentowana przez wektor
taki, że
dla każdego
. Wektor ten nazywamy gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy przez gradf(p).

Twierdzenie

Niech f jest różniczkowalna w punkcie p (
)

a). ma jedną pochodną w punkcie

b). istnieje pochodna cząstkowa
oraz zachodzi

.

Definicja

Jeżeli
jest pochodną mocną funkcji
w punkcie
to macierz odwzorowania w bazach kanonicznych p-ni
jest macierzą Jacobiego:

Jeżeli
,
i
.

nazywamy jakobianem.

Definicja

Niech X i Y będą p-niami unormowanymi. Niech będzie dany zbiór otwarty
i
. Załóżmy, że pochodna
istnieje w każdym punkcie
. Odwzorowanie
jest różniczkowalna w punkcie
, to mówimy, że f jest różniczkowalna dwukrotnie.

Twierdzenie Schwarza

Załóżmy, że
jest zbiorem otwartym oraz
. Jeśli w zbiorze G istnieją pochodne cząstkowe
ciągłe w punkcie
, to

.