003 (67)

Zestaw 4

Zadanie 1. (3 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia

V 4x² — 4x + 1 '2x — 1

+

\/l6x² + 8x^:i + x⁴ 4x² -(- 16x

dla x G (—oo; —4).

Zadanie 2. (5 pkt)

Dane są funkcje liniowe f(x) = (o. — 2)x + 2 oraz g(x) — 2x + (a - 2).

a)    Sprawdź, czy istnieje taka wartość parametru a, dla której punkt o współrzędnych (1 — y/2,1 + y/2) należy do wykresów obu funkcji.

b)    Wyznacz wartość parametru o, dla której funkcje / i g mają wspólne miejsce zerowe, a funkcja / jest malejąca.

Zadanie 3. (6 pkt)

Suma kwadratów pierwiastków wielomianu w(x) = ax³ — 6ax² + (5a + 6)x — 6 jest równa 14. Wyznacz parametr a oraz pierwiastki tego wielomianu, jeżeli jego współczynniki są liczbami całkowitymi.

Zadanie 4. (4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m równanie cosx = 2m² + 4m — 5 jest sprzeczne? Zadanie 5. (4 pkt)

Kierowca obliczył, że trasę 220 km pokona w czasie t, jeśli będzie jechał ze średnią prędkością v. Wyjechał o 20 minut później niż zamierzał, więc aby dojechać na zaplanowaną godzinę, musiał zwiększyć średnią prędkość o 5 kin/h. Oblicz v.

Zadanie 6. (6 pkt)

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f(x) = log_a x.

a)    Oblicz a.

b)    Naszkicuj wykres funkcji

fl(«) = !/(* + 1) ~2| i wyznacz dodatnią liczbę x, dla której spełniona jest równość #(0) = g(x).

Zadanie 7. (4 pkt)

Wyznacz te wartości x € (0;27r), dla których liczby sina;, sin2a; są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Zadanie 8. (5 pkt)

Do okręgu należą punkty >1(0,0), B(7,1) i (7(6,8). Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

Zadanie 9. (6 pkt)

W romb o kącie ostrym 60° wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokami rombu tworzą czworokąt ABCD o polu 3\/3.

a)    Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest prostokątem.

b)    Oblicz pole rombu.

Zadanie 10. (4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Krawędź CD równa 6 jest wysokością tego ostrosłupa. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AC, BC i CD.

Zadanie 11. (3 pkt)

Dane są zdarzenia A,B C D takie, że P(A O B) = P(A) • P(B). Oblicz P(A' O B¹), wiedząc, że P{A) = | oraz P(B) = |.

13. Zestawy maturalne 83