0066

67

§ 3. Ciąg monotoniczny

Ciąg {y„} jest znacznie dogodniejszy dla przybliżonego obliczenia liczby e, niż {¹„}. Oszacujemy różnicę i e. W tym celu rozważmy z początku różnicę między dowolną wartością y„_+m (m = 1, 2, 3,...) następującą po y_n a samymy_n-Mamy

¹ , ¹ , , ¹ j'„_+m-y»=_(n+1)!+(_n+2)!+-"+_(n+m)!-

i f i    i    _i_j

(n + l)!( ⁺ n + 2 ⁺ (n + 2)(n + 3) ^{+ +} (n + 2)(n + 3)...(n + m)J

Jeżeli w nawiasach sześciennych zastąpić wszystkie czynniki w mianownikach ułamków przez n+2, to otrzymamy nierówność

i f i 1    1    )

+ ₂₎₂ + ... + _{(n + 2)m}_₁|,

którą tylko wzmocnimy, zastępując nawias sumą postępu nieskończonego:

1    n + 2

yn + m    ! 7

(n +1)! n+1

Ustalając teraz n przejdźmy z w do nieskończoności; ciąg y_n+m (numerowany wskaźnikiem m) przyjmuje wartości

y»+ l i yn + 2 > yn-ł 3 ’    ¹ .Vn + m >

jest on zbieżny oczywiście do e. Dlatego otrzymujemy w granicy 1 n + 2

czyli

0<e—y„<

1 o

n :n

1

Jeżeli przez 0 oznaczymy stosunek różnicy e—y„ do liczby —— (zawarty oczywiście pomiędzy 0 i 1), to można napisać także

e-y_n=-

0

n !n

Zastępując tu y, jego rozwinięciem otrzymujemy ważny wzór :

(7)

111 10 ‘'”¹⁺ri ⁺ 2!'^lT!⁺ •⁺+! ⁺ ^'

n+2 ^ 1

(n+l)^2<7'

5*

1

Jak łatwo sprawdzić