00098469

I- RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

1. Podać twierdzenia ustalające związek między jednorodnym równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym rzędu pierwszego a układem równań charakterystyk tego równania.

3. Jak wyznaczamy powierzchnie całkową równania różniczkowego cząstkowego liniowego lufa ąuasi-liniowego, przechodzącą przez z góry daną krzywą, nie będącą charakterystyką tego

d. Rozwiązać następujące równania o pochodnych cząstkowych w otoczeniu dowolnego punktu płaszczyzny Oxy, różnego od początku układu:

a) y— - = o, b) 2x~ -y— = y, ^ax oy    dx Ay

5. Wyznaczyć powierzchnie całkową danego równania, przechodzącą przez daną krzywą:

Au    du    l

" 'j7⁺    — i* —»

dy

«y

Odpowiedzi. 4. g) « ™    ^;2 jjest całką ogólną, przy czym F oznacza dowolną

funkcje jednej zmiennej klasy C‘ w przedziale (- », cc), b) F{a—y, xy“) - 0 jest całką ogolną w postaci uwikłanej, przy czym F oznacza dowolną funkcje dwóch zmiennych, klasy C' w dowolnym obszarze płaskim. c)    |y|, 2x- — j - 0 jest całką Ogólną w postaci

uwikłanej. p,zy czym F oznacza dowolną funkęję dwóch zmiennych, klasy C w dowolnym ob-^S2arZC P***k*m. d) Fyt*y*n, — +    " (J jest całką ogólną w postaci uwikłanej, przy czym

F oznacza dowolną funkcję dwóch zmiennych, klasy C' w dowolnym obszarze płaskim,

5- a) rr-lo^*.).

■= 4fjr'—IniyD-

161

3. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE LINIOWE RZĘDU DRUGIEGO

Wiele zagadnień fizyki i techniki prowadzi do równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego. Równania le nazywamy często równaniami fizyki matematycznej. Nicklóre równaniu fizyki matematycznej omówimy w dalszej części tego rozdziału. Będą to równania różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu drugiego. Dlatego obecnie podamy pewne ogólne informacje o takich właśnie równaniach, ograniczając się do przypadku dwóch zmiennych niezależnych.

Def. Równanie różniczkowe cząstkowe

-2B(x,y)

d²u

CM-^r +»(«>

du

dx

-I- b(x, y)~c(x, y)u + d(.t,y) = 0    (11.54)

°y

nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym rzędu drugiego z funkcją niewiadomą u ^ u(x, y). Zakładamy, że funkcje dane A(x, >’), B(x. y), C(x, >•), a(jr, y), b(x, y), c(¹, y) i d(x,y) są klasy C¹ w pewnym obszarze płaskim D, a ponadto funkcje A(x, y), B(x, y) i C(x, y) nic znikają jednocześnie w żadnym punkcie tego obszaru.

Przeprowadzimy klasyfikację równań postaci (11.54) w zależności od współczynników przy pochodnych cząstkowych rzędu drugiego. W tym celu bierzemy pod uwagę wyrażenie

t>(x, y) = A(_x, y) C(x, y)- B^,(x,y)    (U.55)

Def. Mówimy, że równanie (11.54) jest w zbiorze D typu: hiperbolicznego    parabolicznego    eliptycznego

wtedy i tylko wtedy, gdy

/\ «¹.¹)<• A W¹.yXO> Ą Wgz)>0)

Przykłady

a)Równanie fali płaskiej (równanie struny)

z funkcją niewiadomą a — tAx, i) jest równaniem typu hiperbollcznego w dowolnym obszarze płaskim.

b) Równanie przewodnictwa

z funkcją niewiadomą

1

” "(-¹1 0 jest równaniem typu parabolicznego w dowolnym obszarze

Mslemuykl cifit