00098474
Ul- FUNKCJE ZM1ŁSNNEJ ZESPOLONEJ
nie motna porównywać co do wielkości. Niektóre pojęcia przenoszą się natomiast w naturalny sposób. Na przykład:
Del {z.} jest ograniczony • Fnjtht Rozważmy oąg
z* ~ r*cJ**
a moduł, 9 ■ argument główny liczby z, więc 00, *dyr> 1
nie btnieje, gdy r - 1 i 9 * 0 (UI.M)
gdy r — 1 i je — 0 gdy 0<r<!
Niech będzie dany ciąg liczbowy o wyrazach
zespolonych
ix, xt, ..., zHf ...
Z wyrazów tego ciągu tworzymy nowy ciąg
*i,*i+*a.*i+*s+*a,
który zapisujemy krótko:
Cin.15)
Del CSąg (III. 15) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach zespolonych i oznaczamy symbolem
s-
Wyrazy ciągu (11115) nazywamy sumami czuciowymi szeregu (III-16). Szereg jest więc ciągiem swych sum częściowych.
Je** ciąg (III. 15) ma granicę właściwą S, to granicę tę nazywamy ramę szeregu (III. 16) Mówimy przy tym, że szereg (111.16) jest zbieżny. Jeżeli ciąg (III. 15) nie ma granicy właściwej, to mówimy, te szereg (III. 16) jest rozbieżny.
Ponieważ
%*-£**&
więc z uwagi na równoważność (111.12) szereg (III. 16) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są następujące dwa szeregi
(10.17)
Def. Szereg zbieżny 0U.16) nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli zbieżny jest szereg
g W (ULio
Szereg (111.18) jest szeregiom o wyrazach rzeczywisty ch i nieujem-nych, będących modułami wyrazów szeregu (U1.16).
Tw. Jeżeli zbieżny jen szereg (111.18), to zbieżny jest szereg (111.16). DOWÓD. Jeżeli zbieżny jot szereg (111.18), a więc sana
°< W< ora* 0< |y.| <
zbieżne tą — na mocy kryterium porównawczego — szeregi
jć w onz S ly.l (Itr.19)
Zbktność szeregów (10.19) zapewnia zbictnoJC (bezwzględna) szeregów (01.17), a ta z kolei zapewni* już zbieżno*; szeregu (10-16), cod,
Z udowodnionego twierdzenia oraz z definicji bezwzględnej 7bi>*nośri wynika, te zbieżność szeregu (III. 18) stanowi warunek konioczny i wystarczający bezwzględnej zbieżności szeregu (III.16).
Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym.
Rozważmy szereg utworzony
S" •**» ♦''a+Jkoosn l+»»
s modułów wyrazów szeregu (DL20)
(10.20)
(UL21)
A 2a 2
0< *+■*
szereg (10,20) jest
wi«c na mocy kryterium porównawczego zbieżny jest snacg (0121), a zate zbieżny bezwzględnie.
ĆWICZENIA
Wyszukiwarka