00098478

248

Z równości 011.31), z definicji 011.32) oraz z definicji granicy podwójnej funkcji dwóch zmiennych wynika, te jeżeli a = Re;, b *= Img, *o = Rez«, y₀ ■= Imr_0l to

Podamy teraz inną definicją granicy właściwej g funkcji Ąz) w punkcie Zo, równoważną poprzedniej.

D*f. (Heinego). Liczbę g nazywamy granicą funkcji Ar) w punkcie x₀, jeżeli dla każdego ciągu {z.) zbieżnego do z₀, o wyrazach z. # z₀ i należących do dziedziny fi funkcji /(z), ciąg {/(zj{ jest zbieżny do g.

Dla funkcji zmiennej zespolonej prawdziwe jest twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji

Dd    Ar) jest ciągła w punkcie r₀ <* Um/(z) =/(*_D)

Ciągłość funkcji/(z) w punkcie z₀ charakteryzuje zatem koniunkcja następujących trzech warunków:

istnieje Ar),    istnieje lim/(z), lim A*) **A^zt>)

Z uwagi na równość 011.31) łatwo jest zauważyć, te funkcja Ar) jest ciągła w punkcie r₀ wtedy i tylko wtedy, gdy ciągła jest w tym punkcie para funkcji 011.30).

Jeżełi funkcja Ar) jest ciągła w każdym punkcie pewnego zbioru to mówimy, że jest ciągła w tym zbiorze.

Na przykład ftmkrjs ladom

A*) - as+b

Jbm dągb na cakj ptasB^inie, poniewti dla kaldefo zs

Bo /Kł) - tan («i+*) - a*,+» - /(*.)

systematycznie omawiać. Wiele z nfch wynika natychmiast z odpowiednich właściwości funkcji dwóch zmiennych.

Określimy teraz granicę niewlaiciwą. funkcji /(z) w punkcie z<>.

Drf.    V Ą (0 <|l-fcł <«)-(I/Ij)I>JIO

¹ u *>e i«a

Na zakończenie podamy informację o granicy funkcji Ar) w nieskończoności. Przypuśćmy, że rozpatrywana funkcja jest określona w pewnym sąsiedztwie nieskończoności, a więc w obszarze określonym nierównościami 0 < g < |*| < oo.

Funkcja złożona/^-j-J jest wówczas określona w pewnym sąsiedztwie S punktu 0, '

a mianowicie w obszarze 0 < |zj < —.

D(-f.

ĆWICZENIA

1. Co to jesf funkcja zespolona zmiennej zespolonej (krótko: funkcja zmiennej zespolonej). Omówić interpretacje geometryczna takiej funkcji?

I Znaleźć część rzeczywista «(x, y) i cześć urojoną vU, y) funkcji:    a) w = *’+*+ ^J'

_n *+l

b)

3. Narysować przeciwdziedzinę funkcji:

a) w-z+1—;ćUa |z| < 2,

.i dU

1 < 1*1 < «

- 2** dla 0 < |z| < I,    0 < arg z < —

4)

_ jt dla

—l<Rez<I, Im z> 0.

4.    Podać definicję:    a) Caucłiy’ego. b) Heinego, granicy właściwej funkcji/(*) w punkcie

Ze i wyjaśnić znaczenie geometryczne tych definicji.

5.    Udowodnić na podstawie definicji, że; a) lim (2z+3) — 5—2/.

b)    lim -^Z +1 — 0, c) lim **⁺*- — ~V-

»-> *+/    *+J

6.    Podać określenie ciągłości funkcji /(r): a) w punkcie, b) w zbiorze punktów.

7.    Udowodnić, że funkcje:    a) w-*,* —stała, b) w-z, są ciągle, a następ

nie udowodnić, że auma funkcji ciągłych oraz iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

*. Udowodnić, że wielomian a.z*+a^iZ«-^,+ ... -ł-PiZ+do jeał funkcją ciągłą na <»*> płaszczyźnie.

9. Podać określenie granicy: a) lim ,f(z) - oo; b)    \im/(z) - g, g # °o;

c)    fon /(z) - co.

M. /U) nazywamy funkcją opankaną w zbiorze'ft, jeżeli istnieje taka liczba JM, że dla każdego ze,Ił jest spełniona nierówność |/(z)| < JM. Podać przykłady funkcji, które są ograniczone i takich, które nie są ograniczone.

IŁ Jeżeli funkcja w - /(z) odwzorowuje zbiór fi na zbiór Ił' wiajcmnk jednoaacak, to w zbiorze O' jest określona funkcja z — giw), która każdemu punktowi    przyporządkowuje

dokładnie jeden punkt to e Q, tao miano wre, któremu funkcja /(z) przyporządkowuje punkt w₀. Funkcje t nazywamy funkcją odwrotną do funkcji /. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji:

«3»—I, b> »■=

c) w =

2z+l ’

12. Jeżeli funkcja C — p(z) odwzorowuje zbiór Ił na zbiór A, natomiast funkcja w =/(t) odwzorowuje zbiór A na zbiór B', to każdemu punktowi zbioru Ii jat pnyporządkowany w ten