00098482
256 m PUNKCIE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Tm. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f - ?(ż) zmiennej zespolone) z ma pochoótą y>'(*). natomiast funkcja w = /fC) zmienne) zespolonej { ma pochoótą /'(f). «» funkcja złożona w * f(ź), /?«&* f(r) “/W*)). poefc
*"(*) =/W« «
przy czym na miejsca C należ? podstawić <p(z).
w -m-oe+sr, *-/(o «c\
FW-(4n ł- I2(lz+5)»
Wzór (111.45) można też zapisać następująco
rfw dw d£
~3z rff ~3ż
Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcja z «= g(w) przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie punktom zbioru O' punkty zbioru 12. przy czym funkcja w =. /(z), odwrotna do nie), jest ciągła w zbiorze 12, natomiast funkcja g(w) ma pochodną f'(w) / 0 h> zbiorze £2', to funkcja f[z) ma pochodną
' *’(")
m --jha O”-*®
przy czym h> = _/(z), z eQ.
Pnyhhf. Niech /<») - ew+b, • # 0. Funkcja la przyporządkowuje wzajemnie jedno-znafaiir punktom ptezczyzny otwarty punkty tej samej płaszczyzny. Funkcja w- —— wroina do z - aw+b, jest oa*k* na całej płauczyinic. Ponadto *'(») - a ł* 0. Stąd
ztodnie z wynikiem, który matu uzyskać korzyiląjąc z twietdwoia o drtaianlach arytmetycznych
» i wytejefc rzędów funkcji zmiennej zespolonej określa się tak, jak w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, a więc
y* ■> M - iim dm. - i, 2,...
« .tr—0 zlZ
Na przykład /U) - Z*, /-(i) - 3i, f(s) - 2. Z”1 (*) - 0 dla każdego * > J.
Dalsze zagadnienia związane z pochodną funkcji zmiennej zespolonej, a w szczególności związane z nią interpretacje fizyczne i geometryczne, poznamy w następnych punktach tego rozdziału.
ĆWICZENIA
I. Podać definicję pochodnej funkcji zmiennej zespolonej i porównać ją z definicją pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej.
Ł Omówić: a> warunek konieczny, b) warunek wystarczający oa to, żeby funkcja /(r) miała pochodną w punkcie :B. Czym dla istnienia pochodnej/'(z) są warunki Cauchy'ego-Rie-
3. Omówić podstawowe wzory i twierdzenia, które dotyczą obliczania pochodnej /“(z).
4. Udowodnić, ic istnienie pochodnej /'(z«) zapewnia ciągłość funkcji /(z) w punkcie
5. Wykazać, że jeżeli Btnieje/ (z), to:
dx
Wskazówka. Skorzystać ze wzorów (UL38) i (1IL39).
6. Obliczyć na podstawie definicji i na podstawie wzorów (II1.J8), (111.39) oraz wzorów
J*+l
a) i b) z zad. 5, pochodną funkcji: a) fo) - z1—z, b) /(z) , c) /(?) -
Porównać wyniki otrzymane różnymi metodami.
7. Wykazać, ż* funkcja: a) fl_z) = ir|, b) f{z) ** Im z,
c) /(z) «=-i(Rer+Imr) + ł nie ma pochodnej w żadnym punkcie płaszczyzny.
«. Sprawdzić, czy funkcja /(z) - u(x, y) 4-M*. y) ma pochodną:
a)
b)
-'siny *
W z*—y*
= 2*y '
9. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji/(z) = ilV, jprawdzić, że spełniają one warunki Cauchy‘ego-Ricmanna, obliczyć f'W o raz/’(-/) i f(J).
Odpowiedzi. 6. a) 3r'-l, b) — <0 —.
8. ■) Uk; f\z) — z*, b) lak;/(z) - e->. c) ale ;/(*) = (1-yKRez-OnJ).
». n*>-*«*(*+2).
6. FUNKCJA HOLOMORFICZNA
Dtf. Funkcję f[z) nazywamy holomorficzną w punkcie z„, jeżeli ma pochodną /'(z) w pewnym otoczeniu tego punktu.
Holomorficzność funkcji f\z) w punkcie z0 jest więc właściwością odnoszącą się nie tylko do samego punktu *o» lecz także do pewnego otoczenia tego punktu. Funkcja holomorficzna w punkcie r0 ma oczywiście w tym punkcie pochodną, ale nie na odwrót. Funkcja może mieć pochodną w punkcie z„ i może nie być holomorficzna w tym punkcie, gdyż może nie mieć pochodnej w żadnym otoczeniu punktu 2<>-
JT Mitem,t,La .i,k IV
Wyszukiwarka