00098492
274 III. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
IŁ WykŁać, ta zdanie V«* “ 0 jeat fał**ywe.
lf. ZotleU cręU: aj rztczywislą, W urojoną funkcji eh r.
dla li! < I zbieżny, suma dta 1*1 > 1 rozb. ■
a) iJn-tchy, «hr«*x, b) cosjtchy, -sin*shy.
c)
/sh2, 4) ehlOO. IS. •) jiinl, b) cos2, c) /tai,
d) jogi. IŁ ■) ni prostych y -19. a) cot/chi, b) linFłh*.
n» prostychy-kn+~, * » 0, ±t. ±2,,..,.
8. FUNKCJE WIELOZNACZNE f|
W tym punkcie podamy informacje na temat pewnych przyporządkowań nie-jednoznacznych, zwanych funkcjami wieloznacznymi. jj
Funkcja wiekiznacraa m *=- Arg:. Wiemy, Że każda liczba z i* 0 ma nieskoń* czenie wiele argumentów. Przyporządkowanie liczbie z i* 0 jej argumentu nie jat • więc jednoznaczne, czyli nie jest funkcją w używanym przez nas dotąd znaczeniu ; tego słowa. W analizie funkcji zmiennej zespolonej natrafiamy doić często na tego j| rodzaju przyporządkowania niejednoznaczne; nazwano je funkcjami wieloznacznymi -4 Na przykład przyporządkowanie w = Argz jest funkcją nieskończenie (przeliczalnie) J wieloznaczną, określoną w obszarze 0 < |z| <: cc. Ponieważ mamy tu
w «= argz+2itk *
przy czym k = 0, ±1, ±2,.... zaś argz oznacza argument główny liczby z, więfr ;
nasuwa się myśl, że wystarczy ustalić wartość k, żeby pozbyć się wieloznaczności i otrzymać funkcję jednoznaczną. Istotnie, przyjmując np. * = 0 otrzymamy przyporządkowanie w = argz jednoznaczne w obszarze 0 < |x] < ta. Przyporządkowanie to ma jednakże bardzo niekorzystną właściwość: jest nieciągłe na całęj ; ujemnej półosi rzeczywistej. Fakt ten j«t spowodowany nieciągłością argumentu '■ głównego argz na tej właśnie półosi. Jeżeli jednak ograniczyć dziedzinę funkcji j w = argz do obszaru A : 0< |x| < ao, -w < argz < +*, który nie zawiera punk-, tów ujemnej połasi, to w tej nowej dziedzinie (rys. 111,13) funkcja w = argz jest już nic tylko jednoznaczna, lecz także ciągła. Mówimy, te w obszarze A moim wydzielić jednoznaczną i ciągłą gałąź argz funkcji wieloznacznej Argz. Ograniczając się tak jak poprzednio do obszaru A i przyjmując inną wartość k np. k = 1, otrzymamy inną niż poprzednio jednoznaczną i ciągłą gałąź funkcji wieloznacznej Argz. Mówiąc gaiąi funkcji wieloznacznej będziemy mieli zawsze na myśli funkcję /(z) jednoznaczną.! ciągłą w rozważanym obszarze, której wartość w każdym punkcie tego obszaru jat równa jednej z wartości danej funkcji wieloznacznej F(z).
Okresowość funkcji e=. Na wstępie udowodnimy ważne twierdzenie pomoc-Lemat. Prawdziwa jest następująca równoważność:
eł “ 1 “ 2~kj (k <=0,±1, ±2,...) (in.79)
DOWÓD. Prawdziwość implikacji - jest oczywista, gdyż na mocy wzoru Eulera mamy etnkJ — cos2itkl/sm2ttś: — I -ł-JO = i Udowodnimy prawdziwość implikacji *• ■ Jeżeli
e* *» e,cos1y+yexsinł’ = I to
. ' e*cos>' — I i e*siny = 0
Ponieważ e* > 0, wi«c mamy stad siny = 0, czyli y - irż, przy czym k oznacza dowolną liczbę całkowitą; Z uwagi na warunek e*co*>• =» 1, mamy ponadto e*cosidfc - J, czyli e'(— 1>* -Ta ostatnia równość spełniona jest wtedy i tylko wtedy, gdy k =*. O, ±2, ±4, oraz * •» O. Ostatecznie, z równości e1 = 1 wyprowadziliśmy warunek y - tt*, k = 0, ±2, ±4,..., oraz warunek A-O. Stąd i = 2nkf, gdzie k oznacza dowolną liczbę całkowitą, cnd.
Wniosek, Dla każdego z i dla każdego całkowitego k
e.+jK»j _ e' aifsSO)
Wniosek ten wynika bezpośrednio z udowodnionego lematu i z równości (por. zad. 5c., p. 7 tego rozdz.).
Def. Funkcję f(z) zmiennej zespolonej z nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba zespolona p * 0, że dla każdej liczby z z dziedziny funkcji / łiczba z+p także należy do tej dziedziny oraz
jłz+p) =/(z) (111.81)
Liczbę p nazywamy okresem funkcji /.
Z warunku (111.80) wynika więc, że funkcja e* jest okresowa, przy czym jednym z jej okresów jest liczba urojona 2xj.
ił*
Wyszukiwarka