00098504

Rra. UU7

gdy dla każdych dwóch (różnych) punktów wj i n>i' z tego warunek

wW * 1

Z uwagi na przekształcenia 3°, 2° i 1° mamy zatem

eA*.+»z> ^ _ |, czyli    # e*"

a wiec ostatecznie

Zi+z₂ 5* *+2kI

przy czym f ozoacza dowolną liczbą całkowitą.

Funkcja sio z jest zatem jednokrotna w obszarze D wtedy i tylko wtedy, dla każdych dwóch (różnych) punktów z, i z_t z tego obszaru oraz dla dwóch liczb całkowitych kil jest spełniony warunek (111.102) i

Obszarów takich jest oczywiście nieskończenie wiele. Jednym z nich jest nieograniczony

D:    -7r<Rex<— r.,    Imz>0

którego odwzorowanie za pomocą funkcji sinz jest przedstawione na rys. Zauważmy, że funkcja sinz jest całkowita, a zatem holomorficzna w więc rozpatrywane odwzorowanie jest

PrzykW x ełchtroatatykL Rozważmy pole elektrostatyczne nad powier należenia pola są zwrócone ku ziemi, ponieważ — jak wiadomo — ładunek ujemny. Rozpatrując fragment powierzchni ziemi można uważać go za równomierne. W pobliżu powierzchni ziemi założenia te są praktycznie dopuszczalne.

io płaszczyzny powierzchni ziemi, o potencjale zespolonym

określone w płaszczyźnie prostopadłej

Unie x — coostsą ta

ni sił, natomiast linie y - coost są a lie poła E wynosi przy tym (por. wzć

,    -KW-

Omówione pole płaskie jest przedstawione na rys. III.28.

Przypuśćmy, że na powierzchni ziemi ustawiono prostopadle do niej idealnie przewodzącą przegrodę w kształcie płaskiego pasa o wysokości h pomijalnej grubości i nieskończonej długości. Pole elektrostatyczne ulegnie oczywiście odkształceniu, jednakże będzie płasko-równołegłe i da się w zupełności scharakteryzować za pomocą pola płaskiego w płaszczyźnie prostopadłej do powierzchni ziemi i do wprowadzonej przegrody- W celu znalezienia tego pola, w szczególności zaś linii stałego potencjału i linii sit, odwzorujemy konforemnie górną półpłasz-czyznę bez odcinka

Rez^n, 0 < Imr < Ar

(któiy jest przekrojem przegrody płaszczyzną póła płaskiego), na całą góiną pó [płaszczyznę. W ten sposób znajdowanie pola w obszarze o bardziej złożonym kształcie (półpłasz-czyzna z wydętym odcinkiem) sprowadzimy do znajdowania pola w całej półpłaszczyżnte, kłów to pole jest nam znane (pote równomierne). Zażądamy przy tym, żeby obrazem wierzchołka o+Jh odcinka był punkt a osi rzeczywistej. Zagadnienie, jakie mamy rozwiązać, jest więc zagadnieniem pierwszegotypu według przyjętej przez nas nomenklatury. Na tym przykładzie przekonamy się, jak znajomość pewnych prostych odwzorowań pomaga przy rozwiązywaniu tego rodzaju za-

Szukane odwzorowanie znajdziemy w pięciu etapach (rys. 111.29):

I •    w, rn t-a    4"    W, =

2*    w, = trj    5t    w = **+«

. 3* w_s = «, + *>

Gałąź pierwiastka w przekształceniu 4° określamy warunkiem /^T — j Ostatecznie

w - (A*—a)*+k^J+a    (TH. 104)

Funkcja F,{w) = w jest pptencjąłem zespolonym obrazu (na płaszczyźnie W) badanego pola elektrostatycznego. Linie u = ęonst i v — eonst są odpowiednio liniami sił oraz limami stałego