00098507

302

302

d U *x »V

ox do* ⁺ dy Mi*

Ą. Omówić odwzorowanie za pomoc* fi

*. Odwzorować ża pomoc* fanki# * - #■ oboar:    a) Ra* < 0.

b) Rsz>0, Imr < 0, C) IRerl < 1, ltał| < w.

■Bmm

d‘V    /a*rf d>U\

da* ⁺ dv* ”    ( dx> ⁺ óy* )

Na podstawie rćwncdd (10.111) łatwo jrał zauwaiyć. Ze laptaijaa funkcji K(», *dy laplasjan fanki# 0(x, y) jeat równy zeru. Ponadto funkcja KI*, w) jeat takimi s* funkcje Wx,y), z(*,o) oraz yfa.ti). a więc

Kończąc omawianie odwzorowań konforemnych należy podkreśl zowanie pól wektorowych metodą takich odwzorowań może dostarczyć O charakterze konstrukcyjnym, których znajomość ułatwia celowy, dobór kształtu różnego rodzaju przekrojów, np. przekroju skrzydła też okładek wysokonapięciowego kondensatora.

1. Podać okRćkok funkcji jednokrotnej w obszarze. Co wiadomo o zbk odwzorowuje obszar ił funkcja holomorficzna i jednokrotna /(*)t Co wiadomo o <to/WT

Ł Podać okrefienie odwzorowania konforemne*© obalam płaskiego, nofcł i hołomoeflcznodci z kocforcmnosci*. Interpretacja •eometrycma pochodni

^w    ez+rf'

5. Omówić interpretacje fizyczne odwzorowań konforemnych.

C. Podać twierdzenie o zachowaniu afe hamonkznoćd w odwzorowaniu i holomorficznym oraz wyjełoić maczanie tego faktu.

7, Zbadać jodnokroeaoćć, a imtąinie odwzorować a. pomoc* frakcji w — ł* ®< 1*1 < co.l><«i*<—• ZnaWćfunkóoodwmtn*.

9. Odwzorować za pomocą fhnkcjl w

10.    Odwzorować za pomocą funkcji w—jtnz obizir: l < |z| < w, — tr<argz<¹. Zbadać, jakie są obrazy w tym odwzorowaniu okręgów |z| - q (| < g < x) i półprostych argr -

11.    Odwzorować za pomocą funkcji w — -ft+1 obszar: |z| < 5. Gzy istnieje w tym obszarze punkt, który na skutek tego odwzorowania nie zmienił swego położenia? Odpowiedź uzasadnić rachunkowo i wykreślnie.

12.    Odwzorować za pomocą funkcji w — - obszar:    a) |zj < 1,    0 < argr < it,

15    ■    S

b) |r]<l,    —n < argr <—c) |z|>l, -y<argz<0.

13,    Odwzorować za pomocą funkcji w =■ j— obszar:    |r| < 1,    —< argz < —.

14.    Wykazać, że odwzorowanie odwrotno do homograficmego oraz superpozycja homografii jest homografią.

15. Zbadać: a) czy odwzorowanie odwrotne do homografii właściwej jest zawsze bonio-grafią włafciwą? b) czy superpozycja homografii właściwych jest zawsze homografią właściwą? c) czy złożenie homografii jest przemienne?

14. Odwzorować za pomocą funkcji w — ---j płaszczyzną Gaussa-Na jakie punkty przejdą w tym odwzorowaniu punkty:    a) co, b) —1, c) —J, d) +j? Znaleźć punkty

niezmiennicze tego odwzorowania. Znaleźć obraz:    e) prostej z — (!+/)», -oo < t < +co'.

17. Znaleźć obrazy trzech różnych punktów z, niu homoir¹fkan}m w — —————.

1¹- Znaleźć homo grafie ¹ Iz) mąiącą tą właściwość, że ¹<¹,) - w„ A (z,) = w, i h (z.) «. ** ¹i. przy czym z z,, z, i w., ¹•», są dowolnie ustalonymi różnymi punktami płaszczyzny otwartej.

Wikatiwki. Skorzystać z zad. 17.

15. Znaleźć odwiorowanie homogrsfkme przekształcające punkty — 1, O i 1 odpowiednio w punkty 1, -I i 2.

20. Znaleźć obrazy trzech różnych punktów ii,*j i x, w podanym obok odwzorowaniu

21. Wykazać, żc homografa w — A(i), przekształcająca odpowiednio trzy różne punkty *    w tr^r różne punkty Wi.Wi iw, tejsamej płaszczyzny, spełnia warunek

»-»i    *»-»■> z-r, r,-xj

1

s»

w-W, w»-»l I-I, 1,-1, pny czym je² którakolwiek z Ikzb r,, t_t,    _w„ w, i w, jeat równa co, to każdą różnicą, w której

2

ta baba występuje nakdy zastąpić jedynką.