00098509
306 IK. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
przy czym <5. oznacza średnicę podziału przedziału <a, fi) na n części.
306 IK. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
, to zamiast symbol* -i
I
Jeżeli łuk zwykły AB jest zamknięty, a więc jeżeli A = B (III. 113) posługujemy się często symbole m
//w* i»b \n,)<k
gilzie C oznacza krzywą Jordana. stanowiącą w tym przypadku łuk <śS . chcemy podkreślić skierowanie krzywej C, to używamy odpowiednio symbolu j
$Rz)dz albo 4>/(z)&
c c
Wk.tó»»W całki (HI. 113). Jeżeli funkcje f\z) i h{z) są całkowalne i luku AB, zaś K oznacza stałą dowolną, to
$««>*-* Sj»*
. At AB
oraz
; $ Wr)+A(z)]<fe = $ Kz)dz~ i h(z)dz
M AS AB
DOWODY tych równości wyuiiąja tatwo z definicji całki <HUIJ).
Ponadto mamy
<!04U)'i
S/w*-
AB aA
więc w szczególności
|-A»>* - A«)&
Uwaga. Całką po toku (krzywaj) ciągłym, będącym sumą awykłych łuków określano jako aun* całek po tychlukach.
Istnienie całki (111.113) jest w Ścisłym związku z istnieniem pewnych całek krzywoliniowych par funkcji dwóch zmiennych, o których była mowa w 2-giin tomie tego podręcznika (rozdz. II, p. 5). Oznaczmy mianowicie «(x, y) = Re/(z), v(x, y) = Imj^r) oraz
Jxt = ReAzk, Ayk = Im Azk, xk — Ref*. yt = Imf*
(*=1,2,
a następnie przekształćmy sumę całkową (Ul. 112), rozkładając ją aa część rzeczywistą i na część urojoną. Otrzymamy
^ [«(**>
.Ps) *4 **+«(*», (DLI 17)
Zauważmy, że pierwsza i druga suma po płrawej stronie tej równości są to odpowiednio sumy całkowe dla całek krzywoliniowych
y)dx-v(x, y)dy oraz \ o(x, y)<*c+u(x, y)dy an.118)
Całka (III. 113) istnieje więc wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie całki (III. 118), przy czym zachodzi wówczas równość
\j^dz = ^fy+j $ vdx+udy «n.ll9>
którą można przy całkowaniu wykorzystać. Całki <IIU18), a więc i całka (IILI13) istnieją na przykład wtedy, gdy funkcja/(z) jest ciągła na łuku kawałkami gładkim AB. Na ten warunek wystarczający istnienia calld (IU.1I3), zaczerpnięty ż nauki o całkach krzywoUaiowych skierowanych, będziemy się w dalszym ciągu powoływać.
Obliczanie całki funkcji zmiennej zespolonej poprzez obliczanie całek (111.118), może okazać się uciążliwe. Wielu rachunków zaoszczędzi nam następujące twier-
Tłr. (o zanuume całki (UL 113) na całkę oznaczoną). Jełeli funkcja f{i) ** cwta ua zw,kl,u, luku At: z , AUnwmym **«!■
nie ze wzrostem parametru, to
(ULI 20)
/woj. *•<,)*
DOWÓD. Z uw»ał na przyjęte abńń
OT-113) Btsńge, poy czym
\Rz)dz - WhĄs, y)dy
Wyszukiwarka