00098512
1 FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Funkcja f(n - r* jest holomorficzna na całej płaszczyźnie, a K(0; o) jest gładka krzywą Jonitu, •• chv’ego rnrwazanj całka jest równa zeru. Pot*
z-e®*. »t<0.2a>. dz •- jp9>‘dl
• J* ł*
^ r*<* w J tft>“ jętfdt - /f«*> $ eNwJikrfr - 0 JOT a) o 6
Wnioski z twierdzenia podstawowego Cauchv'ego
W niosek I. Jeżeli funkcja/(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym Ą ‘ to całka
J Ąz)tk <m.U$3
po kawałkami gładkim łuku AB c D nie zależy od ksztahu tego luku, a jedynie * od jego początku A i kotka B
c D i C, <= J> oznaczają dwa tuki kawałkami gładkie, ia zakładamy, ie luki
i B. Na mocy twierdzenia podstawowego Cauchy‘ego m
5/<r)dz+ J /(r)dz = 0
Jeżeli zatem końce rf i B łuku AB są ustalone, to całka (III. 127) n określoną jednoznacznie. Wynika stąd, że jeśli oznaczyć symbolem
j/to*
całkę (Ili. 127), w przypadku gdy początek A luku AB c D znajduje się w p Zq, koniec B tego łuku w punkcie z, zaś funkcja/(O jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to równość
określa w tym obszarze funkcję 4>(z). Tak określona funkcja ma właściwości' podobne do tych, które ma całka oznaczona funkcji zmiennej rzeczywistej, traktowana jako funkcja swej górnej granicy.
Tw. Jeżeli funkcja f{z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D i z0eD, to funkcja ip(z) określona w tym obszarze wzorem (111.128) ma pochodną
4»'(z) -/fc) (UI.129)
w każdym punkcie żeD.
DOWÓD lego twierdzenia pomijamy, gdyż jest on bardzo podobny do znanego Czytelnikowi dowodu pierwszego twierdzenia głównego rachunku całkowego (izęić I, rozdz. III, p. 9).
Def. Funkcję F(z) nazywamy funkcją pierwotną funkcji /(z) w obszarze D. jeżeli dia każdego z e D jest spełniony warunek
Z uwagi ńa równość (III. 129) łatwo zauważyć, żc określona wzorem (III.128) funkcja tp{z) jest funkcją pierwotną funkcji fiz) w rozpatrywanym obszarze jedno-spójnym D.
Tw. Jeżeli funkcja fiz) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, F(z) zaś jest jakąkolwiek jej funkcją pierwotną w tym obszarze, oraz zt e D i zz e.D, to
J/(z)<fe = F(z1)-F(zl) (ULI 30)
DOWÓD tego twierdzenia jest analogiczny do dowodu drugiego twierdzenia podstawowego rachunku całkowego (część II, rozdz. ID, p. 9) i pomijamy go. Wzór (Dl. 130) jest odpowiednikiem znanego Czytelnikowi wzoru Newtona-Leibniza.
Przykład. Obliczyć
po linii łamanej, przedstawionej na rys. 111.33-
Przykład ten rozwiązaliśmy w p. 10 tego rozdziału, korzystając Z twierdzenia o zamianie całki funkcji /(z) wzdłuż łuku na całkę oznaczoną. Musieliśmy przy tyra wykonać wówczas łatwe,
lecz żmudne rachunki. Zauważmy, ż* funkcja /(*) - I1 Jest holomorficzna na całej płaszczyźnie, więc można skorzystać ze wzoru (ULI 30). przyjmując u = 1+/. *» - 4 +J (por. rys. ID33) oraz
F(*) “ y **• Stąd
- —■3[(4+/)*+(4-ł-/l (H-JD+(1+M - 18+15/ ,
zgodnie z wynikiem (UI.122).
Wyszukiwarka