00098515

SuplWDI < M

ft{zjefr = 0

/W-/(Zo) .

Wprowadzamy z kolei okrąg S{z»;e> ^c D_c. Na podstawie wniosku 1 z Ciuchy‘ego. mamy

^ hyztdt - ^ *(»<&

(por równodć (UŁUD). Ocenimy całką znajdująca sic po prawej monie tej równuiu. P funkcja A(r) jest <■>«**> w obsiane domkniętym i ograniczonym O,, wiec istnieje siończi gńroy

»

o.

Oczywiłcie dla koitkgo okręgu *(r₀; o) <= O, mamy

II I W) »«■ zotrlr od p. natomiast prawa strona Ki lut dowolnie Miski zera. gdy f jest dostatecznie

Zwróćmy uwagą, że lew* strona równości ( noSci ma na podstawie oceny (Ul. 137) nu liczbą dodatnią. Wynika stąd, że

ej atronie toj równości istnieje Na podstawie wzorów (DI I Ji, i

wrąc oitarozme dostajemy równość (111135), cnd.

Równość (IT! l35) jest to tzw. wzór całkowy Cauchy'ego Ma on w teorii zmiennej zespolonej wielkie znaczenie. Wzór ten został podany przez w 1831 r.

Zauważmy, że krzywa Jordana Cciii punkt ?„ t D,, o których jest w twierdzeniu o wzorze całkowym Caucby‘ego, są dowolne Z tego wynika więc, że wartość funkcji holomorficznej /(z) w każdym punkcie można wyrazić przez wartości tej funkcji na dowolnej kawałkami gładkiej Jordana C. <u J>, wewnątrz której znajduje się punkt r₀. Inaczej mówiąc, funkcji holomorficznej f(z) na krzywej C określają jednoznacznie wartości tej fi wewnątu krzywej. Stanowi to bardzo ciekawą i głęboką właściwość funkcji morficznych

Uwaga Wzór (1X1.135)jest takie prawdziwy, gdy założymy tylko ciągłość w obszarze domkniętym D_t oraz jej holomorf tent ość wewnątrz tego obszaru.

A oto prosty przykład zastosowania wzoru całkowego Cauchy’ego.

Przykład. Obliczyć

ł 7Ę7 *

*W:1)

Przekształcamy funkcję podcałkowa

cosz _ 2+j fjl)

*“+1    2-J ~ X-/

Funkcja /(z) jest holomorficzna w pewnym obszarze jednospójnyra zawierającym okrąg Wi U* np. w półpłaszczyźaie Rer> — —, więc na mocy wzoru całkowego Cauchy’ego mamy

Pochodne wyższych rzędów. Niech /fc) oznacza funkcję holomorficzną w obszarze D. Rozważmy dowolny punkt z_a e Di okrąg g(z₀; 2d) leżący wraz ze swym wnętrzem w tym obszarze. Wykażemy, że

_t    f\zo)

W tym celu rozwalmy Iloraz różnicowy

śrf

K

fW*

ffn.i38)

fiz.+Aii-fizt)

dx

Ograniczając się do przyrostów Az spełniających warunek |dzf < d {ryt. mdl), co oczywiście ^ zmniejsza ogólności rozumowania.

Wartości funkcji /(z₀+dz) i/(z₀> wyrażamy za pomocą wzoru całkowego Ctuch/ego, pnyi. mując okrąg K za krzywą, po której całkujemy; stąd    ^r

(z,+dz) z-ZoJ

- -L L _ /W*

2*/ / U-lio+dzJKz-Zo)

Z uwagi na tę równość, mamy następnie

fjz„+Az)-fji_B)__i_ , /(zhfe ₌ _dz_ .

dz    2J (:-z,y ⁼ 2»j T [z-(z.+dz)Kz-ło)^ł

Na pot

twierdzenia o module całki dostajemy (por. ty*. Jn.41)

I ^    I , M    M '

I 2*/ J [z-(z.+dz)Kz-z_(Jy> j 1T^SiżSF²*    2d^{rl 1}

Af =