00098520

328 I. FUNKC1E ZMIEMIWJ 7FSPOLONEI

Lemat (o punktach zerowych funkcji holomorficznej). Jeżeli funkcja fiz) ■Hr$|§i holomorficzna w obszarze D, to jest w tyra obszarze tożsamościowo równa » ' albo każdy jej punkt zerowy :₀G D jest odosobniony (tzn. w pewnym jego sąsiedz.-rffi|| twie nie ma już innych punktów zerowych funkcji f(z)).

Z tego tematu wynika ważny wniosek.

Wniosek. Funkcja holomorficzna w obszarze D i m« jąca w nim punki zerowy, który nie jest odosobnioifc jest w tym obszarze tożsamościowo równa zer

W szczególności funkcja holomorficzna w obszarze D i przyjmująca u zero na pewnym luku zwykłym lub w pewnym obszarze D_a<zD, jest tożsami równa zeru w całym obszarze D. Właściwości tc można wykorzystać do idemyj funkcji holomorficznych.

Tw. (o identyfikacji funkcji holomorficznych). Jeteli funkcje f\z) i g(t) mLg holomorficzne w obszarze D i przyjmują jednakowe wartości u^- nieskończonym cidg^iM {z,} punktów z, <= D, n= 1,2,.... zbietnym do punktu z₀ 6 l>, to funkcje I równe w obszarze P.

DOWÓD. Rozważmy funkcję pomocniczą

d> to-/(*)-*«

Funkcja ta jest holomorficzna w obszarze D oraz równa zeru w każdym punkcie rozpatry ciągu {*„}. 2 uwagi na dągloić funkcji 0 (z) w punkcie r₀, mamy ponadto <p Uo) — lim 0 (z) — Urn ^(r«) = O

Punkt «ojesl więc piotrem itrowym funkcji 0<r), przy czym nie jest odosobmon: w każdym sąsiedztwie punktu r₀ znąjduje się punki ciągu u więc inny punkt zerowy tV« fai). Wynika stąd, te funkcjać>(tt J«»l lottainoSclowo równa «iu «■ .»błcatre O. cz>ll /?*> » cud.

Z twierdzenia powyższego wynika, że dwie funkcje holomorficzne w obszarze 1) :^ i przyjmujące jednakowe wartości na pewnym luku / c D lub w- pewnym i P₀ c D są równe w całym obszarze P

Zauważmy też, że funkcja /(z) holomorficzna w obszarze'&;;> i mająca stalą wartość 11 na pewnym luku fctO lub w pewnym obszarze ©„ e D jest stała w całym obszar ten wynika stąd. że funkcje/[z) i g(z) ■ k są holomorficzne w obszarze D i przyj- " 5 mują jednakowe wartości oa łuku (cD Gub odpowiednio w obszarze D„ e

Zasada maksimom modułu. Ze wzoru całkowego Cauchy'ego oraz z oro nycb ostatnio właściwości funkcji holomorficznych wynika następujące \ twierdzenie.

Tw. (zasada maksimum modułu). Moduł funkcji holomorflczhej i od stałej w obszarze D nie osiąga maksimum w iadnvm punkcie tego obszaru.

DOWÓD (nie wprosi). Przypuśćmy, ie funkcja /(z) jest holomorficzna i różna od ataki w obszarze o oraz że Jej moduł |/(a)| osiąga maksimum w punkcie r„€ D. Istnieje zatem takie otoczenie Q: U—łoi < g punktu z_a (rys. IIL46) należące do obszaru D, że dla każdego z e Q jest spełniona nierówność |/(z)| < l/(z₀)l •

Niech r a (0, g). Mamy więc (por. zad. 5, p. 12 tego rozdz.)

^/(łk)""5e    (UL 156)

Podkreślamy, ż* r jeat dowolną liczbą dodatnią mniejszą od g. Jeżeli w pewnym punkcie okręgu X(z₀; r) jest spełniona nierówność mocna l/WI < l/Uo)l, to z uwagi ua ciągłość funkcji {(z) nierówność taka jest spełniona także na pewnym luku tego okręgu. Przypuśćmy, Ze łuk ten odpowiada zmienności parametru r w przedziale (>i,«>), (0 < r, < IjUj 2ir). Mamy wówczas

| (f{z_a+rtl<)dt\ < J |/(z₀+re/«)|*< J \f(?o)\dt

więc z uwagi na wzór (BI.156) dostajemy

l/M < ^ l lf{2o+reJ>)\dl+~ J I/(r»4reJ«>!rf*+ ~ j \/(z_B+re/‘)]dt

l/M < l/M*i+ l/M(/.-/.)+    |/M (Łr-rj

i ostatecznie dostajemy nierówność fałszywą

l/M < |/M

Jeżeli w żadnym punkcie żadnego okręgu £(z_a; r), 0 < r < g, nie jest spełniona nierówność mocna l/(z)| < |/(z₀)|, to ponieważ dla każdego z e Q jest spełniona nierówność słaba|/(j)|< |/(r₀)|, więc dla każdego z _tQ marny |/(z), - |/(a₀)|. Moduł |/(z)|, a więc także fuhkcja /(z) są w łym przypadku stale w otoczeniu Q. Wynika stąd, że ftmkcja/(z) i funkcja /(z„) mają jednakowe wartości w otoczeniu Q e o, a ponieważ obie aą holomorficzne w obszarze D, więc /(z) jest stola w tym obszarze. Zaprzecosnie zasady maksimum modułu doprowadza nas więc do nierówności fałszywej |/W< !/(*,)I albo do wniosku, ż*/(z) jest stała w obszarze D. p więc do wniosku sprzecznego z założeniem tej zasady, cod.