139 3

276 Xni. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Widzimy, że druga pochodna zawsze jest różna od zera; mimo to zmienia znak, przechodzi przez zero, mianowicie y" < 0 dla x<0, a y"> 0 dla x>0.

Granice funkcji w nieskończoności:

lim xe^1/*= —oo , lim xe^l,x — +oo .

X~* — CO    X~+ + GO

Zastanowimy się teraz nad przebiegiem zmienności funkcji w otoczeniu punktu W tym celu znajdziemy granicę prawostronną i lewostronną funkcji i jej pochodnej w ty_m punkcie.

Znajdujemy najpierw granicę lewostronną funkcji xe^ilx w punkcie x=0. Gdy x-»-,g to l/x-> — oo, e^1,x-*0, a więc

lim xe^1/x=0.

*-*-o

Następnie obliczamy prawostronną granicę funkcji w punkcie x=0. Mamy

e^l,x

lim xe^1/x= lim — •

*-* + o    *-> + o 1

x

Wykonajmy podstawienie l/x=u; wówczas lim u— + co i otrzymujemy (por. wzór (12.2.5)):    ^x" ^{+ 0}

e^l,x    e^u

lim-= lim — = +oo .

*-* +0 1    u—* + oo U

X

Przechodzimy teraz do obliczenia granic pochodnej w punkcie x=0. Mamy

Wykonajmy podstawienie — \/x = u; wówczas lim w= + co, a więc

x--0

u +1

lim y' = lim e “(1 +m)= lim ——=0 .

x-* — 0    U-*-1-00    u~* + co ^

Podobnie dokonując podstawienia l/x=v mamy lim v= + oo, więc

x-» + 0

lim y'— lim e^l— v)= — co .

x-*+0    u-* + oo

Ostatecznie więc granice lewostronne funkcji y i jej pochodnej y w punkcie x=0 są zerami, tzn. krzywa zbliża się z lewej strony do początku współrzędnych stycznie do osi Ox. Granice prawostronne y i y' równają się odpowiednio +oo i —co.

W dalszym ciągu zajmiemy się badaniem kierunków asymptotycznych oraz asymptot. Wiemy, że kierunki asymptotyczne nierównoległe do osi Oy znajdujemy z wartości granic (por. str. 203):

y    y

lim — i lim--

x-* + co X    X-* — ao X

\V naszym przypadku yfx = e^llx, a więc

lim — = e° = 1 , lim — = e° = 1 ,

3C“* + 00^    *-♦ — 00 -X

gn. istnieje jeden kierunek asymptotyczny o współczynniku kątowym a = 1.

Rys. 13.7

Dalej, wiemy, , że jeżeli istnieje granica lim (y-ax) = b, gdzie a jest znalezionym

»    X~* + tO

współczynnikiem kierunku asymptotycznego, to dla jc-> + oo istnieje asymptota ukośna krzywej o równaniu y=ax + b (por. str. 197). Analogicznie dla x-* —oo. W naszym przypadku a= 1, a więc

y~ax = xe^1/x-x = x(e^l,x-1).

Badamy, czy istnieje granica

e^ilx-l

b= lim x(e^1/x—1)= lim--

X“» + 130    X-* + 00    1

X

Granicę tę łatwo obliczymy podstawiając 1/jc = w; wtedy mamy do obliczenia granicę

, e“-l

lim-. Stosując regułę de L’Hospitala otrzymujemy

«-*o u

e^u— 1 e^u b = lim-= lim — =1 .

u-* 0 U _u-*0 1

Zupełnie podobnie wykazujemy, że

lim x(e^1/x —1) = 1 ,

X ~♦ - OO

^a więc krzywa ma dwustronną asymptotę ukośną o równaniu y = x+1 zarówno dla x~* — oo J^ak dla x-* + oo.

Krzywa nie ma punktów przegięcia. W przedziale (— oo, 0) jest wklęsła, w przedziale (0, + oo) wypukła. W punkcie x=\ ma minimum.