22

\(₎    AS. Jagiełło, Systemy, lektromechaniczne dla elektryków

Ostatecznie wiqc rozwiązanie równania (5.2) przyjmie postać:

U		( f	J Yl
J—x	-CO/ 1	-COS! coJ	—x + CO/ i ;
V k	J	V V	* JJ

layjlk cos; co J^-L j l j

. f 17

^mHr

^    r (

T sin!

sin(co/)

V

r rj \

o*/^cosj -/—coL I

[U J

(5.7)

W celu wyznaczenia pulsacji własnych analizowanego wału wystarczy przyrównać mianownik powyższego wyrażenia do zera:

aysfjk cosj J—coZ, | = 0

stąd

co.,

71(2/7-1) k

(5-8)

gdzie n jest liczbą naturalną.

Z wyrażenia na pulsację własną wału jednorodnego o przekroju kołowym wynika, że jego właściwością jest posiadanie nieskończonej liczby przeliczalnych pulsacji własnych. Możemy zatem domniemywać, że właściwości takiego wału można z zadaną dokładnością zamodelować układem inercyj no-sprężystym.

Rozpatrzmy obecnie układ inercyjno-sprężysty, jak na rysunku 10:

Rys. 10. Układ inercyjno-sprężysty o trzech stopniach swobody )la układu takiego jak zamieszczony na rysunku 10 piszemy funkcją Lagrange’a:

L =l/^+^+-^3²l-i^-T^/s:(^₁-^2)² --K(ń₂-ń₃)²

Wyprowadzamy na podstawie równania Lagrange’a (2.3) równanie dla współrzędnej l3y

4-(/d,)+«d,+A:(d₁-d,)=i»^ri

dt

analogicznie dla współrzędnych $₂ i i3₃ :

4 (ró₂)+    k(-&₂ - a,)+*(«, - «₃)=

dt

—f-ś,) + AT(d,-*,)=»;

<*U J

Macierz sztywności dynamicznej tego układu będzie zatem miała postać:

2£-co²/

2K-vłl

o -a:

0

-K K- co²

(5.9)

2J

lub wyłączając przed macierz współczynnik sztywności K:

2 - co^2 — K	-i	0
k\ -1	2-co^2 —	-1
i	K
0	-1	1-G)^2-
L

W celu wyznaczenia pulsacji własnej należy przyrównać do zera wyznacznik z powyższej macierzy. Dla wygody obliczeń przydatne jest dokonanie podstawienia: 1 - co² —— = cos a, zatem:

2 K

ATdetl

2 cos a	-1 0
-1	2cosoc	-1
0	-1	cos a

^r(4cos³ a-3cosa)=0

(5.10)