25433 MATEMATYKA082

□. Rachunek różniczkowy

Wartość największa i najmniejsza funkcji na zbiorze A nazywane są ekstremami absolutnymi (lub globalnymi) na zbiorze A: maksimum absolutnym i minimum absolutnym

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Przypomnijmy, znany ze szkoły średniej, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowanych.

TWIERDZENIE 5.1 (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ i ma w tym punkcie ekstremum, to f'(^x0) = 0. czyli

( f ma pochodną i ma ekstremum w x_(J )    ( f'(x₀) = 0).

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. Na przykład funkcja f(x)-x‘ ma w punkcie x-0 pochodną równą zeru i nie ma w tym punkcie ekstremum. Oznacza to, że

, zerowanie się pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji róźniczkowalnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym

Wraz z twierdzeniem 5.1 prawdziwe jest twierdzenie do mego przeciwstawne:

Jeżeli funkcja J ma pochodną w punkcie x_(l i /'(*„)* 0, to funkcja ta nic ma ekstremum w punkcie x₀,

Jednocześnie zauważmy, żc funkcja może mieć ekstrema lokalne w punktach, w których nie ma pochodnej (rys 5.2). Zatem

Funkcja może mieć ekstrema lokalne jedynie w punktach, w których jej pochodna nie istnieje albo też istnieje i jest równa zeru

WARUNKI WYSTARCZAJĄCE ISTNIENIA EKSTREMUM. Pewnym niewielkim uogólnieniem znanego ze szkoły średniej warunku wystarczającego istnienia ekstremum jest następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE 5.2 ( I warunek wystarczający), Jeżeli funkcja f jest ciągła na otoczeniu U(x₀,e) i różniczkowalna na sąsiedztwie S(x₀,e) punktu x₀ oraz

(1)    f(x)> O dla x c(x₀-e,x₀) i f(x) <0 dla x c(x₀,x₀ * e) lub

(2)    f'(x)<0 dla x €(x_o-e,x₀) i f'(x)>0 dla x €(x₀,x„ + e),

lo funkcja f ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum, gdy zachodzi warunek (I) lub minimum, gdy zachodzi warunek (2).

Rysunek 5.5 stanowi ilustrację tego twierdzenia.

Rys 5.5

Rys 5.6

PRZYKŁAD 5.1 Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji

f(x) = (2x-5 )Vx^T

Funkcja ta jest określona dla każdego x 6 R i ma pochodna w każdym punkcie x * 0, przy czym

Stad

f'(x) = 0 <=> x = I,

f'(x)>0 o (x-l)x>0 o (x<0vx>l), f'(x)<0 o (x-l)x<0 o 0<x<l.

Wyniki wpisujemy do tabeli.