26025 skanuj0003 (425)

ział 4. Ciągi i szeregi

4.1. Ciągi liczbowe i ich granice

65

em działań (analogicz-lko liczby rzeczywiste,

b_n = b, gdzie a, b G R ■uje następująca tabela:

w twierdzeniu 4.28 znakiem „?” nazywamy symbolami nieoznaczonymi. Należą do nich 00 - 00, O • (±00), Jg. Można podać przykłady ciągów, w których granice po wykonaniu działań są różne. Podajmy je dla symbolu O • (+00). Ciąg p —>► O oraz n —> oc, a g • n = 5 —> 5, natomiast p —» O, n² —» +00, a - • n² = n —> +00.

n

Uwaga 4.30. Zilustrujmy także przykładem sytuację oznaczoną ”? ± 00”. Jeśli a_n = n —> +oc i b_n — CML o, to gj- = p=pn- = (-l)ⁿn² nie jest

n

ciągiem zbieżnym. Można też podać przykład istnienia granicy dla ilorazu. Jeśli a_n = n² -> +oc i 6_n = ^    > O, wtedy = -=r = -n⁴ -» -00.

Na zakończenie poznajmy granice pewnych ciągów.

Twierdzenie 4.31.

la:

+oc

-00

-00

?

+00

+00

(4.7)

(4.8)

lim aⁿ

n—>00

0,	gdy |a| < 1
1,	gdy a — l,
+ OC,	gdy a > 1.

lim \/a = 1, gdy a > 0.

n—>oc

a:

	+OO
	?
	-OO
3	? ± 00
	+00
	?

1 ani rozstrzygnąć proble-liast oznaczenie „? ± 00” tnienia granicy, ale jeśli +00 lub —00.

3 rzeczywistych, +00 lub ają ciągi powstałe po wy-oznaczone w tabelach

(4.9)    lim \/n=l.

n—> oc

Dowód. Jeśli a = 0, to wzór (4.7) zachodzi. Gdy 0 < |a| < 1, to ^ = 1 + ń dla pewnego S > 0. Wówczas stosujemy twierdzenie 3.13 (nierówność Bernoulliego) i otrzymujemy ^ = (1 + S)ⁿ > 1 + n<5, czyli 0 < |a|ⁿ <    Ostatni ułamek

dąży do 0, zatem zgodnie z twierdzeniem 4.21 |a|ⁿ —» 0, czyli oⁿ —* 0, gdy |a| < 1. Jeśli a = 1, to równość (4.7) zachodzi. Gdy a>l,toa = l + ń dla pewnego 5 > 0. Wtedy wykorzystując nierówność Bernoulliego (twierdzenie 3.13), otrzymujemy:

aⁿ = (1 + 6)ⁿ > 1 +- nS.

Zgodnie z definicją 4.26, warunek (4.5), weźmy dowolne K 6 R. Określmy M = Lpk Wtedy dla n > M = Lpl otrzymujemy 1 + nó > K, czyli aⁿ > K i warunek (4.5) jest spełniony.

Własność (4.8) można wykazać podobnie, wykorzystując nierówność Bernoulliego. W pierwszym kroku załóżmy, że a ^ 1. Wówczas y/a ^ 1. Wtedy ęfd = 1 + S_n, gdzie 5_n ^ 0. Zatem z nierówności Bernoulliego otrzymujemy a = (1 + 6_n)ⁿ > 1 + nó_n, czyli 0 < S_n ^ pM. Skrajne wyrazy są zbieżne do 0,