27945 MATEMATYKA052

III. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

1. GRANICA FUNKCJI

GRANICA FUNKCJI w PUNKCIE. Załóżmy, że dana jest funkcja f zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych określona na zbiorze DcR zawierającym pewne sąsiedztwo S(x₀) punktu x₀.

Podamy określenia granicy funkcji w punkcie x₀ w przypadku gdy jest to granica właściwa (skończona) lub niewłaściwa (nieskończona +oo lub -oo). W każdym z rozważanych, tu i w dalszym ciągu, przypadków można podać dwie równoważne definicje granicy: definicję Heinego i definicję Cauchy'ego.

DEFINICJA HEINEGO. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie

x₀ granicę g, co zapisujemy

lim f(x) = g,

K **„

gdy dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x₀, o wyrazach należących do sąsiedztwa S(x₀), ciąg (f(x_n)) ma granicę g Zatem

DEFINICJA CAUCHYECiO Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x_# granicę g, gdy dla dowolnej liczby e>0 istnieje taka liczba 8 >0, źc dla x spełniających nierówność 0<|x x₀|<6 wartości funkcji f spełniają nierówność | f(x) - g| < e . Zatem

(lim f(x) = g)o A V A (0<Jx-x₀j<6=*|f(x)-g|<e).

x~*x,    c '0 fl>n x

Ponieważ

0<^x-x₀J<8 <=> xeS(x₀,8)

oraz

|f(x)-g|<e    f(x)eU(g,5),

więc powyższą definicję można zapisać jak następuje:

( lim f(x) = g) o A V A (xeS(x₀,8)=^f(x)€U(g,E))

x-*x„    U(g.c) S(x„,8) x

lub jeszcze krócej

( lim f(x) = g) o A V A f(x) € U(g).

x-*x₀    U(g) S(x„) xfiS(x„)

funkcja f ma w punkcie x₀ granicę g. gdy dla dowolnie wybranego otoczenia liczby g istnieje takie sąsiedztwo punktu x_u, żc dla x z tego sąsiedztwa wartości funkcji należą do wybranego otoczenia liczby g.