33967 stat Page resize

20 2.4 Zmienna losowa

np. w postaci odpowiedniej formuły lub tabelki. Dystrybuanta takiej zmiennej losowej ma charakterystyczną, „schodkową” postać i jest sumą dla odpowiednich prawdopodobieństw p,, tzn.

F_x(a) = P(X<«)= _Pi= /(*,).    (2.25)

x,^a z,śa

2.4.2    Rozkład ciągły zmiennej losowej

Definicja 2.17. Jeśli dla zmiennej losowej X istnieje nieujemna funkcja f : R —+ R t.ż. dla dowolnych a < b mamy

P(o < X < b) = P(o < X < 4) = J }(x)dx    (2.26)

to zmienna X ma rozkład ciągły 2 gęstością prawdopodobieńst wa określoną funkcją f(x).

Uwaga! Ściśle rzecz biorąc, rozkład spełniający powyższą definicję nazywany jest absolutnie ciągłym, a mówimy, że rozkład jest ciągły jeśli jego dystrybuanta jest ciągła. Istnieją bowiem ciągłe dystrybuanty bez gęstości (czyli nie-absolut-nie ciągłe), ale nie będziemy się nimi tutaj zajmowali.

2.4.3    Wektory losowe

Definicja 2.18. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi określonymi na tej samej przestrzeni probablistycznej. Rozkład wektora losowego (X, V) (lub inaczej łączny rozkład prawdopodobieństwa (A', Y)) jest to funkcja, która zbiorowi B C R² przyporządkowuje liczbę

P((X,y) € B) = P({o> € n : (X(u)_tY(u)) € B}) .    (2.27)

Łączny rozkład wektora losowego (X, Y) w prosty sposób definiąje rozkład pojedynczej zmiennej losowej (np. A), zwany wtedy rozkładem brzegowym

P(X € B) = P((X,y) € B x R) .    (2.28)

Definicja 2.19. Dystrybuanta łącznego rozkładu prawdopodobieństwa

zmiennych losowych X i Y jest to funkcja F : R² —» R dana wzorem

F(a, b) = P(X < o, y < b) .    (2.29)

Gdyby prowadziło to do nieporozumień, dystrybuantę łącznego rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych losowych X i Y będziemy oznaczać symbolem Fx.y■

Definicja 2.20. Łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennych losowych X i Y jest ciągły , jeśli dla dowolnego B € R² jest postaci

P((X, y)eB)-f J_B /(*.jr) dx dy    (2.30)

dla pewnej nieujemnej funkcji /(.,.) zwanej łączną gęstością prawdopodobieństwa.