58153 str079 (5)

[EJ

§ 10. RESIDUA FUNKCJI — TWIERDZENIE ROUCHĆGO

79

h wzoru (16), otrzymujemy

nl),

Zauważmy teraz, że funkcja podcałkowa po prawej stronie (5) ma dwa bieguny jednokrotne, które są pierwiastkami równania

az²—(a² + l)z + a = 0.

Wyznaczając pierwiastki tego równania, mamy

nl).

z_t — a,    z₂ — —.

a

:ymaliśmy jednocześnie rezultat

Kl.

w kierunku dodatnim okrąg C Eulera mamy

Ponieważ 0<a<l, tylko biegun z, leży wewnątrz konturu C. W myśl twierdzenia o residuach mamy więc

idz

= 2ni res_z,/(z),

(6)

gdzie

(7)

" jaz²-(a²

H~l)z + a

/(*) =

az² — («² + l)z + a ‘

(8)

Zgodnie ze wzorem (10.2') zastosowanym do funkcji /(z) z (7) w biegunie jednokrotnym z, = a, mamy

res.,/(z) = res_Zl

ł

r ^f 1	^f
l_flz^2-(fl^2 + l)z + fl_	[az^2—(a^2 + l)z+aj

2aa — (a² + l) a² — 1' Podstawiając wzór (8) do wzoru (6), mamy

J = 2ui

i 2n

a²-1    1-a²

Zadanie 10.6. Obliczyć całkę

(1)    J

r sinx

~J *

dx.

*

chodzi na całkę krzywoliniową

dz

* + l)z+?

Rozwiązanie. Bierzemy pod uwagę funkcję pomocniczą

(2)    /(*) = 7, której część urojona dla rzeczywistych wartości z — x pokrywa się z funkcją podcałkową. Za kontur całkowania C obieramy w rozważanym przypadku kontur, który składa się z czterech części: z odcinka<—r, — R> osi rzeczywistej, z dolnego półokręgu C_r o równaniu z = re", gdzie 7C^K2r; z odcinka <r, R} osi rzeczywistej i wreszcie z górnego półokręgu C_R o równaniu z = Re‘‘, gdzie 0</<7t (rys. 1.16). Wewnątrz konturu C (obszar zakreskowany) funkcja /(z) określona wzorem (2) ma biegun jednokrotny w punkcie