67840 Strona3 (2)

.ii.

po części S płaszczyzny z = 2x + 2y, leżącej nad kwadratem:

;    '    oml⁰***¹

j •    .    -    -•    l 0 y ś 1

Rozwiązanie. W rozwalanym przypadku mamy:

!(1) •    /(*, >) = 2x + 2y,    F(x, y, z) - x^s + y² + z¹.

Wyliczamy najpierw pochodne:

fr(x, y) = 2,    fy(x, y) = 2.

Stąd:

1 +f'_x\x, >) +K\x, y) = 1 + 4 + 4 = 9.

(2)

Y\+f;\x,y) + f-\x,y)=Z.

Stosując wzór (1.4) na zamianę całki powierzchniowej na zwykłą całkę podwójną i biorąc pod uwagę (1) i (2), mamy:

'    +y*+z¹)dS = \\[x¹+y*+ Vx + 2y)*yidxdy =

■    '■    S    D

= 3$J(5x^j + 5y* -f Sxy)dxdy.

.    \    'D    ‘

Wiadomym sposobem (por. rozdz. 12, T. I) wyliczamy, że:

3 J J (5x²' + Sy¹ -f 8xy) dxdy = 16.

Ostatecznie:

J 5 (*² + y¹ + i²) dS = 16.

Zadanie 1.2. Obliczyć całkę: . „

Z = SS -1- 4r -f- 3^) zZF,

s

gdzie: £ jest częścią płaszczyzny 6 równaniu x -j- 2y + 3z = 6, leżącą w pierwszej ósemce układu współrzędnych (rys. 17.2).

Rozwiązanie. Stosujemy wzór (1.4). W rozważanym przypadku mamy:

0)

Wyliczamy stąd: (2)

: = 2 —yx —yy, F(x, y, z) = 6x + 4y + 3r.

1 2

2_

3 *

3 *

|/i + z’² + z² =*j/i + (— y) +(--j*) -ⁱT^L'

5 J (6x + 4y + 3z) dS = {J 6x + 4y + 3 (2 - -x - \y)

S    b    \ ⁱ    J /

= J—H J 5 (5.t -f 2y + 6) dx dy,

3 o

gdzie obszar D jest trójkątem ograniczonym prostymi:

x = 0, y = 0,    . * + 2y = 6.

Wiadomymi sposobem (por. T. I, rozdz. 12) wyliczamy, ie:

J 6-1/

X 14

(Sx -f 2y -f 6) dx dy =

V 14

dx dy —

(Sx + 2y -1- 6)

dy-

= 2 /14 $ (y- - lOy -X 21) dy - 54/ 14.

Zatem I = 54    14.

/ = J S (« + /1 + 4 y) dS,

Zadanie 1.3. Obliczyć:

gdzie: S jest częścią powierzchni walca y = x² zawartą między płaszczyznami z = 0, - = 2, y=l.

Rozwiązanie. W rozważanym zadaniu powierzchnia Sjest płatem regularnym (rys. 17.3) o równaniu:

(O

gdzie obszar D jest prostokątem: (2)

y = *

D

(0<a<2.

Wobec tego stosujemy wzór (1.4). W tym celu wyznaczamy najpierw pochodne pierwszego rzędu funkcji (1):

.>■; = 2r, y' • = O.

Stąd:

1 + .-X¹ +    = 1

(3)    /l -f y? 4- /T = VI i- 4x=.

Wstawiając do wzoru (1.4') funkcję F(x, y, -) • x~ + ]' 1 -i- 4y oraz uwzględniając Przy tym (1) i (3), otrzymujemy, że:

(4)    I = (J (jer | ]■' 1 -f 4y) dS = ^ J (x: 4- V \ -1- 4a -) /l -j- 4x² dx d:.

91