72938 Wprowadzenie do MatLab (74)

Można to sprawdzić przy pomocy polecenia: >> A*v ans -

34

34

34

34

Wynika to z równości sum elementów wierszy i kolumn macierzy A.

Gdy magiczny kwadrat jest skalowany magiczną sumą tej macierzy >> P = A/34

wynik jest dwuwymiarową macierzą stochastyczną, której wszystkie sumy wierszy i kolumn są jedynkami.

» P =

0.3824

0.2353

0.3529

0.0294

0.4706    0.0882    0.0588

0.1471    0.2941    0.3235

0.2647    0.1765    0.2059

0.1176    0.4412    0.4118

Takie macierze reprezentują prawdopodobieństwo przejścia w stochastycznym procesie Markowa. Powtórzone potęgi macierzy reprezentują powtórzone kroki tego procesu. W naszym przykładzie piąta potęga:

>> P^5

wynosi

0.2507

0.2497

0.2500

0.2496

2495

2501

2498

2506

0,

0.

0.

0.

2494

2502

2499

2505

.2504

.2500

,2503

,2493

slkie

To pokazuje, że gdy wykładnik potęgi k zbliża się do nieskończoności, w elementy macierzy P ' osiągają 0.25.

Współczynniki wielomianu charakterystycznego:

>> poly(A) wynoszą

1    -34    -64    2176    0

to znaczy, że wielomian charakterystyczny det(A - Xl) ma postać

A.⁴ - 34-X³ - 64-A.² + 2176-A.

Współczynnik stały wynosi zero, ponieważ macierz jest osobliwa. Współczynnik przy trzeciej potędze wynosi -34 i jest równy ujemnej sumie wartości własnych macierzy.

76