74477 MATEMATYKA180

350 VII Macierze. Wyznaczniki, Układy równań liniowych

350 VII Macierze. Wyznaczniki, Układy równań liniowych

Na przykład

•2

1	-3	2		1	-3	2
0	1	-1	=	0	1	-1
2	-2	1		0	4	-3

W przykładzie tym do elementów trzeciego wiersza dodaliśmy elementy pierwszego wiersza pomnożone przez -2. Krócej: do trzeciego wiersza dodaliśmy pierwszy wiersz pomnożony przez -2.

(7) Jeżeli

^ail ••• ^ain

W =

^knn

^anl

U)

gdy i = j gdy i ^ j

gdy i = j

gdy i*j-

a₁,w;+a_i2W^+...₊a_inW*_n = {^

oraz

a_liWr_j+a_2iW₂^,j + ... + a_niW*={ą’

Zatem:

Suma iloczynów elementów i-tego wiersza (i-tej kolumny) przez algebraiczne dopełnienia elementów j-tego wiersza (j-tej kolumny) wyznacznika jest równa temu wyznacznikowi, gdy i = j lub jest równa 0, gdy i * j.

(8) Jeżeli a, _t * 0, to

	^all	...	^a!n	1	^b22	... b2n
	^anl	...	®nn	« ^n—2 ^all	bn2	”• ^b«ui
gdzie bilc = “	11 il	^alk *ik ’	i k - n ** * —»• • •		n.

Z własności (6) wynika, żc każdy wyznacznik można tak przekształcić, nic zmieniając jego wartości, że w dowolnie wybranym wierszu (kolumnie) zostanie co najwyżej jeden element różny od zera Zilustrujemy to przykładem: przypuśćmy, że w drugiej kolumnie wyznacznika

.    " -2 I 1-1

-12 11

chcemy uzyskać maksymalnie dużo zer. Posłużymy się trzecim wierszem - mnożąc go przez odpowiednio dobraną liczbę dodajemy do pozostałych wierszy. Zatem

	1	-2	1	1		-3	0	3	-1
w=	-1	3	-2	1		5	0	-5	4
	-2	1	1	-1	u	-2	1	1	-1
	-1	2	1	1		3	0	-1	3

Własności (7) i (K) pokazują dwie metody obliczania wyznaczników, które niżej dokładnie omówimy i dlatego w tym miejscu rezygnujemy z ilustrowania tych własności przykładami.

METODY OBLICZANIA WYZNACZNIKÓW Z własności (7) i (8) wynikają następujące metody obliczania wyznaczników

1) Metoda Laplace'a. Z własności (7) wynika, że wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich algebraiczne dopełnienia, czyli

W = a,]W*i + agWj +... + a_jnWj,, i = lub

W = aikWfjt + a2i_cW2i_c + ... i-a^W^ , k = l,...,n.

Prawą stronę tych równości nazywamy odpowiednio rozwinięciem wyznacznika według i4cgo wiersza lub k-tej kolumny.

Szczególnie łatwo obliczymy wyznacznik, gdy rozwiniemy go według takiego wiersza (lub kolumny), w którym jest np. tylko jeden element różny od zera Zobaczmy to na przykładzie:

12 0-1 2 0-12	„1 rozwijamy wedlugl _ () Jj J	+ 2	1 0 -1 2-12
0 -2 0 0	] trzeciego wiersza J 0-2 0		1 -2 0
1 0-2 0

= { np. metoda Samisa } —14.

	1 2 -1		1 2 0		1 0 -1
+0	2 0 2	-0	2 0-1	= 2	2-12
	1 0 0		l 0 -2		1 -2 0