89493 MATEMATYKA139

268 V. Całka oznaczona

Gdy rozważana granica jest niewłaściwa ±oc albo nic istnieje, to

oc

mówimy, źc całka niewłaściwa Jf(x)dx jest rozbieżna. Przy tym w

00

pierwszym przypadku piszemy Jf(x)dx=±oo.

a

Gdy f jest funkcją ciągłą i mcujcmną na przedziale <a,oo), to

00

zbieżność całki niewłaściwej Jf(x)d\ oznacza, żc pole figury

a

D={(x,y)eR²: a<x<oo,0£y£f(x)}, (rys 3.1), jest skończone i równe tej

oo

calce:    |D|=Jf(x)dx,

PRZYKŁAD 3.1

«    .    n

a) f-y^ = lim    hm-i-aretg-r- =

•{ x² +2 p-^x²+2 *-+**4i V2 ₀

= -i- lim arctg-IL = —

V2 2v2

Dana całka niewłaściwa jest więc zbieżna i równa tc/(2-\/2). Jej interpretacja geometryczna jest przedstawiona na rysunku 3.2.

Rys 3.3

c) [cosxdx=lim fcosxdx= lim sinp.

00    P

b) f—= Hm f~= lim lnxf = lim lnp = +ao.

J X p-M«J X p-*c«o "

Zatem całka niewłaściwa jest rozbieżna do +oo, (por. rys 3.3)

p

J    p—not>J    P-**^

-Ił    -11

Rozważana granica nie istnieje, zatem dana całka niewłaściwa jest rozbieżna.    ■

Analogicznie określa się i interpretuje całkę niewłaściwą

h

Jf(x)dx funkcji f na przedziale niewłaściwym (-oc,b >, całkowalnej na

-ao

każdym skończonym przedziale < a,b >:

b    jjęj-    b

(3.2)    Jf(x)dx = lim Jf(x)dx.

w    a

Naturalne jest również następujące określenie całki niewłaściwej

no

Jf(x)dx funkcji f określonej na przedziale (-oo,oo) i całkowalnej na każdym skończonym przedziale:

®    c    •

(3.3)    Jf(x)dx = Jf(x)dx +Jf(x)dx,

-«    -vi    e

przy tym całkę tę uważamy za zbieżną tylko wtedy , gdy obie całki niewłaściwe po prawej stronic są zbieżne