Ciagi strX 59

Uwaga. Granicę lim a„ oznaczamy przez liminfjc,, i nazywamy granicą dolną ciągu {.«,}, zaś granicę lim /?„ oznaczamy przez lim sup.x„ i nazywamy gnuihą górną ciągu {x„}.

26.    Pokazać, żc dla dowolnego ciągu ograniczonego {a„} zachodzi inf{a„:ne!f*3} < liminfa. < limsupa. < sup{a.:ne^|M}.

27.    Wyznaczyć granice dolne i górne następujących ciągów:

•)a. = (-ir.    b) b, = ( — !)*[( —1)"+ l|.

28. Pokazać, że jeżeli lim a_n = a, to lim |a„| = \a\.

29. Pokazać, że jeżeli lim \a„\ = co, to lim — = 0.

30. Udowodnić, że jeżeli lim a„ = 0 oraz a„> 0 (a_n < 0) dla «r W, '•>

31. Udowodnić, że jeżeli lim a. = a (a e&), to każdy podciąg ciągu |<ij <• jest zbieżny do a.

32.    Zbadać, czy następujące ciągi są zbieżne:

a) a„ = (-!)"«,	b) b„ = ^^^1^sin(n! + n^ł),
c) c„ = 1 + ~%cos^, n + 1 2	^d)dn = (^1 + nJ^( *'
33. Wyznaczyć granice podanych niżej ciągów:
b) b„ m n[In (n + 3)- ln n].	c) c„ = arctg^^-i^lj.
d) </. » y/n^4—3n (^/ 1 -n^3 + w).	—A-o-

Część B

M. Pokazać, że jeżeli ciąg liczbowy {«„} jest zbieżny (do granicy właściwej '• niewłaściwej), to ma on wyraz najmniejszy lub największy.

W. Mement aelS będziemy nazywać punkiem skupienia ciągu {u.}, jeżeli "it»|c podciąg tego ciągu zbieżny do a.

Pokazać, że jeżeli {«„} jest ograniczony, to wśród jego punktów skupienia MHłtJo największy i najmniejszy.

W». Pokazać, że ciąg {a.} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie i •Uu punkt skupienia.

17. Pokazać, że jeżeli {aj jest ciągiem ograniczonym, to liczby limsupa. o lim Infa, są punktami skupienia tego ciągu.

Uł. Pokazać, że granica górna ciągu ograniczonego jest jego największym i ink o ni skupienia, a granica dolna — najmniejszym.

W. Pokazać, że ciąg {a.} ograniczony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy Mm liii u. - limsupa..

40. Wyznaczyć granicę dolną i górną następujących ciągów:

b) b_n = l+2-(-ir^+, + 3 (-l)"'"^J

dl    (-ir+>in™.

41 Niech {a.} i {/>„} będą ciągami ograniczonymi. Pokazać, żc: ul limmfn, + liminffc. ^ liminf(a. + bj < liminfa„ + limsupb., hi lim lulu. I limsupft. < limsup(a. + b„) < limsupa. + limsup/>„. i¹ Puk lizać na odpowiednich przykładach, że nierówności w zad. 41 mogą

H i 'dowodnie, żc jeżeli ciąg {a.} jest zbieżny, to dla dowolnego ciągu

mi.....u no (h.) są prawdziwe związki:

•il lilii sup (u. I /»,) - lim a. 4-lim sup b_m, h| Iłfli«iip(«!«#>.) lim a,-limsuph„.

44 I hliiwudnłó, żc ciąg {sin n} granicy.